گروه نقطه‌ای در سه بعد

گروه‌های نقطه‌ای در سه بعد

تقارن پیچشی Cs, (*) [ ] =	تقارن دوری Cnv, (*nn) [n] =	تقارن دووجهی Dnh, (*n22) [n,2] =
گروه چندوجهی، [n,3]، (*n32)
تقارن چهاروجهی Td, (*332) [3,3] =	تقارن هشت‌وجهی Oh, (*432) [4,3] =	تقارن بیست‌وجهی Ih, (*532) [5,3] =

در هندسه، گروه نقطه ای در سه بعد (به انگلیسی: Point Group in Three Dimensions)، گروهی ایزومتری در فضای سه بعدی است که مبدأ مختصات را ثابت نگه می‌دارد، یا به عبارتی دیگر، گروه ایزومتری کره است. این گروه، زیرگروهی از گروه متعامد $O(3)$، یعنی گروه تمام ایزومتری ایی که مبدأ مختصات را ثابت نگه می‌دارند می‌باشد، یا به عبارتی دیگر، گروه تمام ماتریس‌های متعامد. خود $O(3)$ زیرگروهی از گروه اقلیدسی $E(3)$، شامل تمام ایزومتری‌های این فضا می‌یاشد.

گروه‌های تقارنی اشیاء، گروه‌های ایزومتری اند. بر همین اساس، آنالیز گروه‌های ایزومتری، همان آنالیز تقارن‌های ممکن است. تمامی ایزومتری‌های یک شیء سه بعدی کراندار، دارای یک یا چند نقطه ثابت مشترک اند. ما یکی از این نقاط را به عنوان مبدأ انتخاب می‌کنیم.

گروه تقارنی یک شیء را برخی مواقع گروه تقارنی کامل نامیده، و در مقابل آن گروه دورانی یا گروه تقارنی محض قرار دارد که اشتراک گروه تقارنی کامل و گروه دورانی $SO(3)$ از خود فضای سه بعدی می‌باشد. گروه دورانی ی شیء برابر با گروه تقارنی کامل است اگر و تنها گر شیء مورد نظر کایرال (دست‌سان) باشد.

گروه‌های نقطه‌ای در سه بعد، به شدت در شیمی به کار می‌روند، به‌خصوص جهت توصیف تقارن‌های یک مولکول و اوربیتال‌های مولکولی که در تشکیل پیوندهای کووالانسی دخیل بوده، و در این بستر به آن‌ها گروه‌های نقطه‌ای مولکولی نیز گفته می‌شود.

گروه‌های کوکستر متناهی، مجموعه خاصی از گروه‌های نقطه‌ای اند که می‌توان آن‌ها را فقط با کمک مجموعه‌ای از انعکاس‌های آینه‌ای گذرنده از همان نقطه تولید نمود. یک گروه کوکستر از رتبه n، دارای n تقارن آینه‌ای است که به وسیله یک دیاگرام کوکستر-داینکین نمایش داده می‌شود. نمادگذاری کوکستر، نمادگذاری برحسب براکت‌ها است که معادل با دیاگرام کوکستر می‌باشد، به گونه‌ای که نمادهای مخصوصی برای دوران و سایر زیر-تقارن‌های گروه‌های نقطه‌ای می‌باشد.

منابع

• Coxeter, H. S. M. (1974), "7 The Binary Polyhedral Groups", Regular Complex Polytopes, Cambridge University Press, pp. 73–82.
• Coxeter, H. S. M. & Moser, W. O. J. (1980). Generators and Relations for Discrete Groups, 4th edition. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9. 6.5 The binary polyhedral groups, p. 68
• Conway, John Horton; Huson, Daniel H. (2002), "The Orbifold Notation for Two-Dimensional Groups", Structural Chemistry, Springer Netherlands, 13 (3): 247–257, doi:10.1023/A:1015851621002, S2CID 33947139

پیوند به بیرون

• Graphic overview of the 32 crystallographic point groups – form the first parts (apart from skipping n=5) of the 7 infinite series and 5 of the 7 separate 3D point groups
• Overview of properties of point groups
• Simplest Canonical Polyhedra of Each Symmetry Type (uses Java)
• Point Groups and Crystal Systems, by Yi-Shu Wei, pp. 4–6
• The Geometry Center: 10.1 Formulas for Symmetries in Cartesian Coordinates (three dimensions)