فراکتال

برفدانه کُخ ساده‌ترین نوع برخال است.

برخال مندلبرو یک برخال سه‌بعدی از مجموعه مندلبرو می‌باشد که بوسیله دانیل وایت و پاول نایلاندر ساخته شده‌است.

برخالی از مجموعه مندلبرو

مجموعه جولیا

نوعی کلم

فرکتال، یا فراکتال (Fractal) یا بَرخال ساختاری هندسی است متشکل از اجزایی که با بزرگ کردن هر جزء به نسبت معین، همان ساختار اولیه به دست آید. به عبارتی دیگر برخال ساختاری است که هر جزء از آن با کلش همانند است. فراکتال‌ها شکل‌هایی هستند که بر خلاف شکل‌های هندسی اقلیدسی به هیچ وجه منظم نیستند. این شکل‌ها اولاً سرتاسر نامنظم اند، ثانیاً میزان بی نظمی آنها در همه مقیاسها یکسان است و جسم فراکتال از دور ونزدیک یکسان دیده می‌شود. به تعبییر دیگر خودمتشابه است.از فراکتالها به عنوان یکی از ابزارهای مهم در گرافیک رایانه‌ای نام می‌برند، اما هنگام پیدایش این مفهوم جدید بیشترین نقش را در فشرده سازی فایلهای تصویری بازی می‌کنند.

وجه تسمیه

از لحاظ واژه مندلبرات انتخاب اصطلاح فرکتال fractal را از واژه لاتین fractus یا fractum به معنی شکسته گرفت تا بر ماهیت قطعه قطعه شونده که یکی از مشخصه‌های اصلی این فرم است، تاکید داشته باشد واژه فرکتال به معنای سنگی است که به شکل نامنظم شکسته شده باشد.

پیشنهاد فرهنگستان زبان فارسی

فرهنگستان زبان فارسی واژه برخال را تصویب کرده و همچنین برای واژه فرکتالی واژه برخالی را تصویب کرده است که از واژه برخ به معنی بخش و قسمت و پسوند -ال (مانند چنگال) تشکیل شده‌است و با واژه فراکتال هم‌معنی است.

کشف

واژه فرکتال در سال ۱۹۷۶ توسط ریاضیدان فرانسوی به نام بنوئیت مندلبرات وارد دنیای ریاضیات شد. او در سال ۱۹۸۷ پروفسوری خود را در رشته ریاضیات گرفت. مندل برات وقتی که بر روی تحقیقی پیرامون طول سواحل انگلیس مطالعه می‌نمود به این نتیجه رسید که هر گاه با مقیاس بزرگ این طول اندازه گرفته شود بیشتر از زمانی است که مقیاس کوچکتر باشد.

مندل برات اعلام کرده که ابرها به صورت کره نیستند، کوهها همانند مخروط نمی‌باشند، سواحل دریا دایره شکل نیستند، پوست درخت صاف نیست و صاعقه بصورت خط مستقیم حرکت نمی‌کند.

تعریف فراکتال

هندسهٔ اقلیدسی - احجام کامل کره‌ها و هرم‌ها و مکعب‌ها و استوانه‌ها بهترین راه نشان دادن عناصر طبیعی نیستند. ابرها و کوه‌ها و خط ساحلی و تنهٔ درختان همه با احجام اقلیدسی در تضاد هستند و نه صاف بلکه ناهموار هستند و این بی نظمی را در مقیاس‌های کوچک نیز به ارمغان می‌آورند که یکی از مهمترین خصوصیات فراکتال‌ها همین است. این بدین معناست که هندسهٔ فراکتال بر خلاف هندسهٔ اقلیدسی روش بهتری را برای توضیح و ایجاد پدیده‌هایی همانند طبیعت است. زبانی که این هندسه به وسیلهٔ آن بیان می‌شود الگوریتم نام دارد که با اشیا مرکب می‌توانند به فرمولها و قوانین ساده تری ترجمه و خلاصه شوند.

خصوصیات اشکال فرکتال

• فوق‌العاده و غیرمنتظره است.
• تکامل هم‌زمان دارد.
• جایگزینی بهینه.
• ضرورت به تنوع دارد.
• دارای قوانین ساده می‌باشد.
• در شکل‌گیری فرم از تکرار استفاده می‌شود.
• دارای تنوع می‌باشد.
• سیستمی تو در تو است.
• اشکال اقلیدسی با استفاده از توابع ایستا تولید می‌شوند ولی اشکال فرکتال با فرایندهای پویا تولید می‌شوند. فرایندهای پویا، فرایندهایی هستند که دارای حافظه می‌باشند و رفتار آنها به گذشته بستگی دارد.
• اشکال فرکتال دارای خاصیت خود همانندی است. طول این اشیا بی‌نهایت است که در فضای محدود، محصور شده‌اند.
• مجموعه‌های فرکتال، از زیر مجموعه‌هایی تشکیل شده‌اند که این زیر مجموعه‌ها شبیه مجموعه‌های بزرگتر هستند.
• هندسه فرکتال دارای ساختارهای ظرفیتی بالاست ولی ظرفیت اطلاعاتی اشیای اقلیدسی بسیار محدود و حاوی اطلاعات تکراری است.
• هندسه فرکتال، بیان ریاضی از معماری طبیعت است.
• هر فرایند تکراری و پویا باعث ایجاد ساختارهای پیچیده فرکتال نمی‌شود. مکانیزم تولید چنین ساختارهای پویایی، آشوب است. در حقیقت، فرکتال تصویر ریاضی از آشوب است.

هندسه فرکتال

در این قسمت از دید ریاضی به فرکتال نگاه می‌شود که بیشتر مورد توجه ریاضی‌دان‌ها قرار گرفته اما پایه‌های قسمت‌های بعدی نیز می‌باشد، و تا با عناصر اصلی فرکتال و چگونگی ایجاد این فرم آشنا نشویم نمی‌توان فرم‌های مختلف و حجم‌های مختلف را شناسایی کرد.

فرکتال از دید هندسی به شیئی گویند که دارای سه ویژگی زیر هستند:

• دارای خاصیت خود متشابهی باشد یا به تعبیر دیگر self-similar باشد
• در مقیاس خرد بسیار پیچیده باشد.
• بعد آن یک عدد صحیح نباشد مثلاً ۱٫۵

محاسبه بعد فرکتال‌ها

اگر بگوییم بعد خط، برابر یک باشد و نیز بعد صفحه، برابر دو باشد. همچنن بعد فضا با عدد سه معرفی شود اما فرکتالها بر خلاف همهٔ اینها بعد صحیح ندارند. بعد فرکتالها یک عدد کسری می‌باشد وقتی که گفته می‌شود بعد یک فرکتال ۱٫۲ می‌باشد این بدین معنی است از خط پیچیده تر و از صفحه سادتر است. محاسبه این بعد از یک سری فرمول‌های لگاریتمی بدست می‌آید که بررسی آن از حوصله این بحث خارج است. در اشکال زیر تنها به عدد بدست آمده اشاره می‌شود. درعین پیچیدگی که فرم‌های فرکتال دارند نباید فراموش کرد که فرکتال یک هندسه است. و از انجام محاسبات هندسی بدست می‌آید.

فرم فرکتال

زمانی که به اطراف خود نگاه می‌کنیم می‌توان از کوچکترین عناصر طبیعی تا بزرگترین اشیای خلقت، مثالی را که دارای فرمی فرکتال هستند را مطرح کرد به طوری که مشخصه‌های هندسی فرکتال را دارا می‌باشند. برای وارد شدن به این بازه عظیم زمان زیادی را می‌خواهد که نمی‌توان آن را در یک مقاله محدود مطرح کرد. لذا بنا بر این شد که فرم‌های شاخص در هندسه فرکتال را انتخاب و مطرح کنم. فرم‌هایی که به صورت‌های مختلف وجود دارند، بعضی به صورت طبیعی و برخی دیگر ساخته شده از اشکال غیر طبیعی هستند

سیستم ساختاری تکرار

این سیستم که دارای علامت اختصاری IFS - Iterated Function System - است، سیستم تکرار را مطرح می‌کند که به نوعی پایهٔ هندسه فرکتال است. تکرار یکی از راه‌های ایجاد فرم در معماری است اما در فرکتال این فرم بایستی دارای مشخصات هندسی که در قسمت هندسه فرکتال مطرح شد را دارا باشد. به طور کلی این تکرار می‌تواند از کنار هم قرار گرفتن یک شیء بدست آید و یا اینکه یک موضوع نسبت به موضوع دیگر و به طور متوالی کوچک شود.

خود متشابهی

شیئی را دارای خاصیت خود متشابهی می‌گوییم که هر گاه قسمت‌هایی از آن با یک مقیاس معلوم، یک نمونه از کل شیئی باشد. ساده ترین مثال برای یک شیئ خود متشابه در طبیعت گل کلم است که هر قطعهٔ کوچک گل کلم متشابه قطعه بزرگی از آن است. همین طور درخت کاج یک شیئ خود متشابه است، چرا که هر یک از شاخه‌های آن خیلی شبیه یک درخت کاج است ولی در مقیاس بسیار کوچکتر. همچنین در مورد برگ سرخس نیز چنین خاصیتی وجود دارد.

رشته کوه‌ها، پشته‌های ابر، مسیر رودخانه‌ها و خطوط ساحلی نیز همگی مثالهایی از یک ساختمان خود متشابه هستند. فراکتال شکل هندسی پیچیده است که دارای جزییات مشابه در ساختار خود در مقیاسهای متفاوت می‌باشد و بی نظمی در آن از دور و نزدیک به یک اندازه است.

جسم فراکتال از دور و نزدیک یکسان دیده می‌شود. مثلاً وقتی به یک کوه نگاه می‌کنیم شکلی شبیه به یک مخروط می‌بینیم که روی آن مخروطهای کوچکتر و بی نظمی دیده می‌شود ولی وقتی نزدیک می‌شویم همین مخروطهای کوچک شبیه کوه هستند و یا شاخه‌های یک درخت شبیه خود درخت هستند. البته در طبیعت نمونه‌های اجسام فراکتال فراوان است مثلاً ابرها -رودها -سرخس‌ها و حتی گل کلم از اجسام فراکتال است. و اگر به ساخته‌های دست بشر هم نگاه کنیم تراشه‌های سیلیکان و یا مثلث سرپینسکی نیز فراکتال هستند. و در معماری همیشه نباید نیاز بشر را هندسه اقلیدسی تامین کند. گسترش شهرها نمونه آشکاری از فراکتال است.

فرکتال‌های طبیعی

این فرم‌ها که به صورت طبیعی وجود دارند دارای ساختاری خود متشابه هستند حتی در مقیاس میکروسکپی یک‌دانه برف دارای فرمی خود متشابه است.

فرم‌های مندلبورت

مجموعه‌های مندلبرو دارای پیچیدگی خاصی هستند. زمانی که یک فرم حالتی پیچیده پیدا می‌کند و یا به عبارت دیگر به عناصر خرد تشکیل دهنده کل می‌رسد، فرم‌هایی بسیار پیچیده اما در عین حال منظمی را به ما می‌دهد که در اشکال زیر و نمونه‌های پیش فرض و آماده در فرکتال اکسپلورر گذاشته شده است.

فرکتال در مناظر طبیعی

این فرم‌ها همانطور که از اسم آنهاپیداست دارای فرمی طبیعی هستند (عدم دستبرد دست بشر). شاید بسیار در عکاسی معماری (برای عکس از یک سوژه) به یک منظره برخورد کرده باشید که در دوردست تپه‌ها و کوه‌ها دیده می‌شوند، بد نیست بدانید که خود این منظره دارای فرمی فرکتال با هندسه فرکتال قابل حل است.

الگوهای رویش برخالی

ایده خود متشابه در اصل توسط لایبنیتس بسط داده شد. او حتی بسیاری از جزئیات را حل کرد. در سال ۱۸۷۲ کارل وایرشتراس مثالی از تابعی را پیدا کرد با ویژگیهای غیر بصری که در همه جا پیوسته بود ولی در هر جا مشتق پذیر نبود. گراف این تابع اکنون برخال نامیده می‌شود. در سال ۱۹۰۴ هلگه فون کخ به همراه خلاصه‌ای از تعریف تحلیلی وایرشتراس، تعریف هندسی‌تری از تابع متشابه ارائه داد که حالا به برفدانه کخ معروف است. در سال ۱۹۱۵ واکلو سرپینسکی مثلثش را و سال بعد فرش‌اش (برخالی) را ساخت. ایده منحنیهای خود متشابه توسط پاول پیر لوی مطرح شد او در مقاله اش در سال ۱۹۳۸ با عنوان «سطح یا منحنیهای فضایی و سطوحی شامل بخش‌های متشابه نسبت به کل» منحنی برخالی جدیدی را توصیف کرد منحنی لوی c. گئورگ کانتور مثالی از زیرمجموعه‌های خط حقیقی با ویژگیهای معمول ارائه داد. این مجموعه‌های کانتور اکنون به‌عنوان برخال شناخته می‌شوند. اواخر قرن نوزدهم و اوایل قرن بیستم توابع تکرار شونده در سطح پیچیده توسط هانری پوانکاره، فلیکس کلاین، پیر فاتو و گاستون جولیا شناخته شده بودند. با این وجود بدون کمک گرافیک رایانه‌ای آنها نسبت به نمایش زیبایی بسیاری از اشیایی که کشف کرده بودند، فاقد معنی بودند. در سال ۱۹۶۰ بنوا مندلبرو تحقیقاتی را در شناخت خودهمانندی طی مقاله‌ای با عنوان «طول ساحل بریتانیا چقدر است؟ خود متشابه‌ای آماری و بعد کسری» آغاز کرد. این کارها بر اساس کارهای پیشین ریچاردسون استوار بود. در سال ۱۹۷۵ مندلبرو برای مشخص کردن شئی که بعد هاوسدورف-بیسکویچ آن بزرگ‌تر از بعد توپولوژیک آن است کلمه «فراکتال» (برخال) را ابداع کرد. او این تعریف ریاضی را از طریق شبیه‌سازی خاص رایانه‌ای تشریح کرد.

برخال‌ها از نظر روش مطالعه به برخالهای جبری و بر خالهای احتمالاتی تقسیم می‌شوند. از طرف دیگر برخال‌ها یا خودهمانند اند ^{self similarity} یا خودناهمگرد ^{self affinity} هستند. در خودهمانندی، شکل جزء شباهت محسوسی به شکل کل دارد. این جزء، در همه جهات به نسبت ثابتی رشد می‌کند و کل را به وجود می‌آورد. اما در خودناهمگردی شکل جزء در همه جهات به نسبت ثابتی رشد نمی‌کند. مثلاً در مورد رودخانه‌ها وحوضه‌های آبریز بعد برخالی طولی متفاوت از بعد برخالی عرضی است Vx = ۰. ۷۲-۰. ۷۴ و Vy = ۰. ۵۱-۰. ۵۲ (ساپوژنیکوف و فوفولا،۱۹۹۳) از این‌رو شکل حوضه آبریز کشیده‌تر از زیر حوضه‌های درون حوضه‌است. به خودهمانندی همسانگرد ^isotropy می‌گویند. به خود ناهمگردی ناهمسانگرد ^anisotropy می‌گویند.

طبقه‌بندی

برخال‌ها همچنین بر اساس خود همانندی طبقه بندی می‌شوند. سه نوع خود همانندی وجود دارد:

• خود همانندی دقیق – این قوی‌ترین نوع خود همانندی است؛

گسترش رو به رشد رویکرد تک‌برخالی (مونوفراکتالی) اخیر، داده‌ها را با مجموعه برخالی، بجای بعد منفرد برخالی توصیف می‌کند. این مجموعه طیف چندبرخالی ^{multifractal spectrum} نامیده می‌شود و روش توصیف تغییرپذیری بر اساس طیف‌سنجی چندبرخالی به آنالیز چندبرخالی معروف است (فریش و پاریسی، ۱۹۸۵). روش چند برخالی به اندازه خودهمانندی آماری دلالت دارد که می‌تواند به صورت ترکیبی از مجموعه‌های به‌هم‌تنیده برخالی مطابق با نمای مقیاس گذاری نمایش داده شود. ترکیبی از همه مجموعه‌های برخالی طیف چند برخالی‌ای را ایجاد می‌کند که تغییر پذیری و ناهمگنی متغیر مورد مطالعه را مشخص می‌کند. مزیت رویکرد چند برخالی‌این است که پارامترهای چندبرخالی می‌توانند مستقل از اندازه موضوع مورد مطالعه باشند.

کاربردها

از برخال‌ها به منظور تسهیل در امور مربوط به مدل‌سازی پیچیدگی در زمینه‌های گوناگون علمی و مهندسی استفاده به عمل می‌آید. از جملهٔ زمینه‌های مهم کاربردی موارد زیر را می‌توان برشمرد:

• گرافیک رایانه‌ای
• پردازش تصاویر
• نظریهٔ موجک‌ها
• تغییر شکل پلاستیک و شکست مواد

رابطه فراکتال و معماری

انسانها در روزگار قدیم که در طبیعت می‌زیستند و مانند انسان دوره مدرن، با طبیعت بیگانه نبودند، معماریشان با نظم طبیعت بود. آنها به این دلیل که در طبیعت رشد می‌افتند، ضمیر ناخودآگاهشان نیز با نظم طبیعت- یعنی با نظم فراکتال- رشد میافت، در نتیجه مصنوعاتش نیز دارای نطم فراکتال می‌بود.

مطالعه هندسه باید به طراح کمک کند به درک بهتری از جریان جزئیات در پیرامون ما و جهان طبیعی دست یابد. خصوصیت فراکتالی یک ترکیب معماری در تسلسل جالب جزئیات است. این تسلسل برای حفظ جذابیت معماری لازم است. هنگامی که شخص به یک ساختمان نزدیک و سپس به آن وارد می‌شود همیشه باید مقیاس کوچکتر دیگری همراه با جزئیات جذاب وجود داشته باشد تا معنای کلی ترکیب را بیان کند که این یک ایده فراکتال است.

فرکتال و هنر

مقالهٔ اصلی: هنر فرکتال

در هنر دوران‌های مختلف ساختارها و فرم‌ها و حتی نقاشی‌های مختلفی را از فرکتال می‌بینیم. در این زمینه به ذکر ۲ نمونه اکتفا می‌کنم.

• فرکتال‌ها در هنر آفریقا
• فرکتال را در آثار نقاشانی چون جکسون پالاک و لاری پونز

منابع

• ویکی‌پدیای انگلیسی
• [۱]
• [۲]
• نظام‌الدین فقیه، آشوب و فراکتال در سیستم‌های پویا ۹۶۴-۹۴۳۶۷-۱-۵:شابک
• Chaos and Fractals in Dynamic Systems
• نظام‌الدین فقیه، رموز تحول و توسعه در سیستم‌های انسانی (نگرشی نوین) ۹۶۴-۳۵۸-۲۶۵-۵:شابک
• رموز تحول و توسعه در سیستم‌های انسانی (نگرشی نوین)
• A Modern Cryptography of Change and Development in Human Systems
• وحید قبادیان، مبانی و مفاهیم در معماری معاصر غرب صص
• http://daneshju-club.com/معماری-فراکتال-و-نظریه-آشوب.html
• http://www.iran-eng.com/archive/index.php/t-222192.html

جستارهای وابسته

• نگارال
• کاشی‌سازی برخالی
• چند برخالی
• بنوا مندلبرو
• موجک‌ها
• پیچیدگی
• علوم نرم

پیوند به بیرون

• فراکتال چیست؟، ساناز فرهنگی، مدرسهٔ اینترنتی تبیان
• دنیای زیبای فراکتال‌ها، پریسا ظهیری، سازمان آموزش و پرورش شهر تهران