قضیه بزو

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو

قضیه بزو قضیه‌ای قدرتمند برای حلقه‌های جابجایی مجهز به الگوریتم تقسیم است. دو حالت خاص این قضیه، در مورد اعداد طبیعی و چندجمله‌ای‌ها معروف و پرکاربرد است. این قضیه را نخستین بار ریاضیدان فرانسوی اتین بزو در کتابش «نظریه عمومی معادله های جبری» اثبات کرد.

در مجموعه اعداد طبیعی[ویرایش]

فرض کنید و دو عدد صحیح باشند که دست کم یکی از آنها مخالف صفر است. در این صورت دو عدد صحیح و را می‌توان یافت به طوری که: که در آن ب. م. م و است. به عبارت دیگر حداقل یک ترکیب خطی از دو عدد صحیح و مساوی ب. م. م آن‌ها خواهد بود.

مثال[ویرایش]

برای و یک ترکیب خطیشان باید برابر با ب. م. م شان، یعنی شود. اگر قرار دهیم آنگاه

اثبات[ویرایش]

مجموعه کلیه ترکیب‌های خطی مثبت و را می‌نامیم. یعنی:

مجموعه به وضوح ناتهی است. زیرا مثلاً اگر ناصفر باشد، با یک عضو مثبت برای آن به دست می‌آید. چون همه اعضای مثبت اند، پس کوچکترین عضو دارد. آن را می‌نامیم و فرض می‌کنیم . ادعا می‌کنیم مساوی ب. م. م و است. برای این کار، را بر تقسیم می‌کنیم. بنابر الگوریتم تقسیم، خارج قسمت و باقی‌مانده (که ) وجود دارند که: . حال باید نشان دهیم اگر آنگاه چون داریم

یعنی یک ترکیب خطی از و برابر با مثبت شده‌است که عددی کم تر از است. این تناقض است. زیرا کوچکترین ترکیب خطی مثبت و بود. پس فرض اولیه درست نبود. یعنی داریم . به عبارت دیگر و مشابها بر بخش پذیر اند. ثابت شد مقسوم علیه مشترک و است. اثبات بزرگترین مقسوم علیه مشترک بودن آن مانده‌است. اگر ب. م. م آن دو باشد، چون و هر دو بر بخش پذیر اند، پس هر ترکیب خطی آن دو نیز بر بخش پذیر اند. به ویژه . پس از کوچکتر نیست و به عبارت دقیق تر، خود است.

در مجموعه چندجمله‌ای‌های با ضرایب صحیح[ویرایش]

اگر و دو چندجمله‌ای با ضرایب صحیح باشند، آنگاه چندجمله‌ای‌های و با ضرایب صحیح وجود دارند که برابر با ب. م. م و شود.

اثبات[ویرایش]

چون در مجموعه چندجمله‌ای‌های با ضرایب صحیح، الگوریتم تقسیم درست است، مشابه اثبات قضیه برای مجموعه اعداد طبیعی، برای این صورت نیز جواب می‌دهد. (البته با تغییر اسامی و متغیرها)

منابع[ویرایش]