معادله پواسن

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

معادله پواسن یک معادله دیفرانسیل جزئی خاص در ریاضیات است که به طور گسترده در مهندسی مکانیک، الکتروستاتیک و فیزیک نظری کاربرد دارد. این اسم به افتخار فیزیک‌دان و ریاضی‌دان فرانسوی، سیمون دنی پواسون نام‌گذاری شده است.[۱]

روابط ریاضی[ویرایش]

\Delta\varphi=f

که در آن \Delta عملگر لاپلاس است و f و φ توابعی با مقادیر حقیقی یا مختلط هستند.

معادلهٔ پواسن عموماً به صورت زیر نوشته می‌شود:

\nabla^2 \varphi = f.

در مختصات کارتزین سه بعدی، این معادله را می‌توان به فرم زیر نوشت:


\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)\varphi(x,y,z) = f(x,y,z).

وقتی f =0 این همان معادله لاپلاس خواهد بود.(در واقع معادلهٔ لاپلاس حالت خاصی از معادلهٔ پواسن است ولی با توجه به اینکه حل معادلهٔ لاپلاس بسیار راحتر از معادلهٔ پواسن است، آنها را از یکدیگر تمیز می‌دهند.)

معادلّهٔ پواسن را می‌توان با استفاده از تابع گرین حل کرد.

کاربرد در الکتروستاتیک[ویرایش]

نوشتار اصلی: الکتروستاتیک

مسائل زیادی در الکتروستاتیک و الکترومغناطیس وجود دارند که با استفاده از این معادله توصیف می‌شوند.

قانون گاوس:

\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{D} = \rho_f

که در آن \mathbf{\nabla} \cdot دیورژانس، D میدان جابجایی الکتریکی و ρf چگالی بار آزاد است.

در حالت خاصی D را می‌توان به فرم زیر نوشت:

\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}
\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho_f}{\varepsilon}

در غیاب میدان مغناطیسی متغیر، طبق قانون فارادی داریم:

\nabla \times \mathbf{E} = -\dfrac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} = 0

که \nabla \times عملگر کرل و t زمان است.

\mathbf{E} = -\nabla \varphi
\nabla \cdot \bold{E} = \nabla \cdot ( - \nabla \varphi ) = - {\nabla}^2 \varphi = \frac{\rho_f}{\varepsilon},
{\nabla}^2 \varphi = -\frac{\rho_f}{\varepsilon}.

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  1. Jackson, Julia A.; Mehl, James P.; Neuendorf, Klaus K. E., eds. (2005), Glossary of Geology, American Geological Institute, Springer, p. 503, ISBN 9780922152766 .
  • Poisson Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
  • L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
  • A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9
  • Engineering Mathematics by Greenberg
  • Engineerig Electromagnetics by David Cheng