مرتب‌سازی سطلی

مرتب سازی سطلی(bucket sort) یا مرتب سازی صندوقی، نوعی الگوریتم مرتب سازی است که با تقسیم کردن یک آرایه به تعدادی سطل کار می‌کند. سپس هر سطل به طور جداگانه مرتب می‌شود که این کار مرتب کردن می‌تواند از یک الگوریتم مرتب سازی دیگر استفاده کرده یا مرتب سازی سطلی را به طور بازگشتی روی آن اجرا کند. مرتب سازی سطلی تعمیم مرتب سازی لانه کبوتری است. از آن جایی که این مرتب سازی، مرتب سازی مقایسه‌ای نیست، نمی توان (Ω(nlog n را به عنوان کران پایین برای آن در نظر گرفت. پیچیدگی محاسباتی برای آن بر اساس تعداد سطل‌ها محاسبه می‌شود.ایده اصلی مرتب سازی سطلی این است که بازه ی(1و0]را به n زیر بازه با اندازه ی یکسان تقسیم،یا سطل بندی و سپس n عدد ورودی را درون سطل ها پخش کند.

نحوه عملکرد

شکل (۱)
عناصر در سطل‌ها توزیع می‌شوند.

شکل (۲)
عناصر در هر سطل مرتب می‌شوند.

مرتب سازی سطلی به صورت زیر کار می‌کند:

• آرایه‌ای به عنوان سطل‌های خالی تعریف می‌کند.
• پخش کردن: روی آرایه اصلی حرکت می‌کند و هر عنصر را در سطلش قرار می‌دهد.(شکل (۱))
• هر سطل غیر خالی را مرتب می‌کند.(شکل (۲))
• جمع آوری کردن: به ترتیب سطل‌ها را نگاه می‌کند و همه عناصر را به آرایه اصلی باز می‌گرداند.
  

یک راه بهینه سازی مرسوم این است که ابتدا عناصر را در آرایه اصلی قرار داده، سپس مرتب سازی درجی را روی کل آرایه اجرا کند. چون زمان اجرای مرتب سازی درجی به این که هر عنصر از جای نهاییش چقدر فاصله دارد، بستگی داشته، تعداد مقایسه‌ها نسبتا کم باقی می‌ماند و همچنین سلسله مراتب حافظه با مرتب کردن لیست به طور متصل در حافظه، بهتر به کار گرفته می‌شود.
مرسوم‌ترین نوع مرتب سازی سطلی روی لیستی با طول n عمل می‌کند که ورودی‌ها بین صفر و مقداری ماکسیممی مانند M هستند. سپس بازهٔ مقادیر را به n سطل هر کدام با طول M/n تقسیم می‌کند. اگر هر سطل با استفاده از مرتب سازی درجی مرتب شود، می‌توان نشان داد که مرتب سازی در زمان مورد خطی مورد انتظار اجرا می‌شود.(که میانگین زمان اجرا را روی هر ورودی ممکن می‌دهد.) با این وجود، کارآیی این مرتب سازی، زمانی که عناصر نزدیک به هم قرار می‌گیرند، تنزل پیدا می‌کند. در این حالت همه عناصر در یک سطل قرار می‌گیرند و مرتب سازی به کندی انجام می‌گیرد.

الگوریتم

مرتب سازی سطلی به طور میانگین (زمانی که داده‌ها به صورت یکنواخت توزیع شده باشند.) در زمان خطی اجرا می‌شود. فرض می‌شود که داده‌ها با یک فر آیند تصادفی که عناصر را به طور یکنواخت روی بازه (۰٬۱] توزیع می‌کند.
ایده مرتب سازی سطلی این است که بازه (۰٬۱] را به n زیر بازه یا سطل با طول مساوی تقسیم می‌کند و n عدد ورودی را داخل سطل‌ها توزیع می‌کند. از آن جایی که ورودی‌ها به طور یکنواخت روی (۰٬۱] توزیع شده‌اند، ما انتظار نداریم که اعداد زیادی در یک سطل قرار بگیرند. برای تولید خروجی، اعداد هر داده را (با استفاده از مرتب سازی درجی) مرتب کرده و سپس به ترتیب روی سطل‌ها حرکت کرده و عناصر داخل هر کدام را لیست می‌کنیم.

            BUCKET_SORT (A)
               1. n ← length [A]
               2. For i = 1 to n do
               3.     Insert A[i] into list B[nA[i]]
               4. For i = 0 to n-1 do
               5.     Sort list B with Insertion sort
               6. Concatenate the lists B[0], B[1],.. B[n-1] together in order.

و الگوریتم در زبان C

 void bucketSort(int a[],int n, int max)
 {
 int* buckets = new int[max];
 int SIZE = n;
 for(int j = 0 ; j <= max ; j++)
 buckets[j] = 0;
 for(int i = 0 ; i < SIZE ; i++)
 ++buckets[a[i]];
 for(i = 0 , j = 0 ; j <= max ; ++j)
 for(int k = buckets[j] ; k > 0 ; k--)
 a[i++] = j;
 
}
 

کد ما برای مرتب سازی سطلی فرض می‌کند که ورودی در آرایه n عنصری A قرار دارد و هر عنصر A بین ۰ و ۱ است. همچنین ما به یک آرایه کمکی[B[0.. n -1 برای لیست‌های پیوندی مربوط به سطل‌ها نیاز داریم.
برای آن که ببینیم این الگوریتم کار می‌کند، دو عنصر [A[i و [A[j را در نظر بگیرید. بدون از دست دادن کلیت مسئله فرض کنید که [A[i]≤ A[j. عنصر [A[i می‌تواند در سطلی همانند [A[j قرار بگیرد یا به سطلی با اندیس کوچکتر برود. اگر [A[iو [A[j در سطلی یکسان قرار گیرند، حلقه for دوم آن‌ها را در ترتیب درست قرار می‌دهد. اگر [A[i و [A[j در سطل‌های متفاوت باشند، آنگاه خط آخر کد، آن‌ها را در جای درست می‌گذارد. بنا براین، مرتب سازی سطلی درست کار می‌کند.

مثالی از نحوه مرتب سازی

عملیات مرتب سازی سطری

آرایه [A[1..10 داده شده‌است. آرایه [B[0..9 آرایه‌ای از لیست‌های مرتب شده یا سطل‌ها پس از خط پنجم کد است. سطل i مقادیری در بازه [i/10, (i +1)/10] را نگاه داشته‌است. خروجی مرتب شده شامل یک الحاق به ترتیب لیست‌ها است که در ابتدا [B[0 بعد [B[1] بعد [B[2 و...... در انتها[B[9 می‌آیند.
زمان اجرای این مرتب سازی این گونه بدست می‌آید:
زمان وارد کردن n عنصر در آرایه A + زمان حرکت روی آرایه کمکی B (مرتب شده با مرتب سازی درجی)
که زمان این برابر می‌شود با: (O(n) + n. O(2 - 1/n) = O(n . بنابراین مرتب سازی سطلی در زمان خطی اجرا می‌شود.

پیاده سازی الگوریتم در ++C

# include <iostream>
using namespace std;

void bucketSort(int a[],int n, int max)
{
        int* buckets = new int[max];
        int SIZE = n;

        for(int j = 0 ; j <= max ; j++)
                buckets[j] = ۰;
                
        for(int i = 0 ; i < SIZE ; i++)
                ++buckets[a[i]];
                
        for(int i = 0 , j = 0 ; j <= max ; ++j)
                for(int k = buckets[j] ; k > 0 ; k--)
                        a[i++] = j;
                        
        for(int i = 0 ; i < SIZE ; i++)
                cout << a[i] << "";
                
        cout << "\n";
}

int main()
{
        int a[] = {۲۵٬۵۴٬۷۳٬۱۱٬۸۳٬۵۲٬۲۳٬۹۱};
        int elem = sizeof(a)/sizeof(int);
        
        int max = a[0];
        for(int i = 0 ; i < elem ; i++)
        if(a[i] > max)
           max = a[i];

        bucketSort(a, elem, max);
        system("pause>nul");
}

پیاده سازی الگوریتم در جاوا

public class BucketSort {
        public static void main(String[] args) {
                int a[]=new int[]{۲٬۵,۷٬۱,۸٬۵,۲٬۹};
                int elem=۱۰;
                bucketSort(a,elem);
        }
        public static void bucketSort(int a[],int m){
                int[] buckets = new int[m];

                for(int j=0;j<m;j++)
                        buckets[j]=۰;
                for(int i=0;i<a.length;i++)
                        ++buckets[a[i]];
                for(int i=0,j=0;j<m;++j)
                        for(int k=buckets[j];k>0;k--)
                                a[i++]=j;
                for(int i=0;i<a.length;i++)
                        System.out.println(a[i]);
        }
}

مقایسه با الگوریتم‌های مرتب سازی دیگر

می‌توان مرتب سازی سطلی را حالتی کلی از مرتب سازی شمارشی در نظر گرفت؛ در واقع، اگر اندازه هر سطل ۱ باشد، مرتب سازی سطلی به مرتب سازی شمارشی تبدیل می‌شود. اندازه متغیر سطل‌ها در مرتب سازی سطلی اجازه می‌دهد که استفاده از حافظه جای O(M)از O(n) باشد، که M تعداد مقادیر متمایز است؛ در عوض رفتار مرتب سازی شمارشی در بدترین حالت O(n + M) خواهد بود. مرتب سازی سطلی با دو سطل نسخه‌ای قابل اجرا از مرتب سازی سریع است که مقدار pivot محور مقدار میانه‌ای از محدوده مقادیر انتخاب می‌شود. چون این انتخاب برای ورودی‌ها با توزیع یکنواخت قابل اجرا است، روش‌های دیگر انتخاب محور در مرتب سازی سریع مانند انتخاب تصادفی موجب مقاومت بیشتری برای دسته بندی کردن توزیع ورودی‌ها می‌شود. الگوریتم مرتب سازی ادغامی n_راهه هم با توزیع لیست به n زیر لیست و مرتب کردن هر کدام آغاز می‌شود؛ اگرچه زیرلیست‌هایی که با مرتب‌سازی ادغامی ایجاد شده‌اند شامل محدوده‌هایی می‌شوند که با یکدیگر هم پوشانی دارند و بنابراین نمی‌توانند دوباره بوسیله همان الحاق ساده‌ای که در مرتب سازی سطلی انجام دادیم، ترکیب شوند. به جای آن باید با یک الگوریتم ادغام در محل اصلی خود جای داده شوند. اگرچه، این هزینه افزودن در مرحله‌ای که پراکنده کردن ساده تر انجام شد، موازنه شده‌است و اینکه می‌توانیم مطمئن باشیم همه زیرلیست‌ها به یک اندازه‌اند، کران خوبی برای بدترین حالت ایجاد می‌کند. مرتب سازی رقمی بالا-پایین می‌تواند حالت خاصی از مرتب سازی سطلی باشد اگر حتماً هر دو محدوده مقادیر و تعداد سطل‌ها توانی از دو باشند. در نتیجه، اندازه هر سطل هم توانی از دو است، و این روش می‌تواند به طور بازگشتی بکار بسته شود. این مشیء می‌تواند به مرحله پخش کردن سرعت دهد، از این رو ما فقط نیاز داریم بیت پیشوند را به نمایندگی از هر عنصر بیازماییم، تا سطل آن را تعیین کنیم.

مرتب سازی Postman

مرتب سازی Postman نوع دیگری از مرتب سازی سطلی است که برتری‌های ساختار سلسله مراتبی عناصر را دارد، و نوعاً با مجموعه‌ای از صفات توصیف می‌شود. این الگوریتمی است که ماشین‌های مرتب سازی نامه‌ها از آن در دفاتر پست استفاده می‌کنند: حالت‌های اولیه، سپس دفاتر پست، سپس مسیرها، وغیره.... چون کلیدها با یکدیگر مقایسه نمی‌شوند، زمان مرتب سازی O(cn) است، که c وابسته به اندازه کلید و تعداد سطل هاست. این مشابه مرتب سازی پایه‌ای است که «بالا پایین،» یا «پرارزش‌ترین رقم اول» کار می‌کند.

جستارهای وابسته

الگوریتم‌های مرتب‌سازی

پیوندهای بیرونی

• A Bucket Sort Applet
• Java Applet - Comparison between Bubble Sort and Bucket Sort

منابع

• ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامه آزاد
• Bucket Sort - Kent State University
• Bucket Sort - Algorithm Wiki