الگوریتم انتخاب

در علوم کامپیوتر، یک الگوریتم انتخاب، یک الگوریتم برای پیدا کردن kامین کوچک‌ترین عدد در یک لیست است (به چنین عددی kامین مرتبه آماری گفته می‌شود). این الگوریتم‌ها شامل پیدا کردن کمینه، بیشینه و میانه‌ی عناصر است. الگوریتم‌های انتخاب از $O(n)$، که در بدترین حالت خطی اند، وجود دارند. انتخاب یکی از زیرمسئله‌های مسائل پیچیده‌تر مانند مسئله نزدیک‌ترین همسایه و مسئله یافتن کوتاهترین مسیر است.

انتخاب با مرتب‌سازی

انتخاب ممکن است با مرتب کردن لیست و سپس استخراج عنصر دلخواه، به مرتب سازی تبدیل شود. این روش زمانی کارآمد است که به تعداد زیادی انتخاب از یک لیست نیاز باشد، در موردی که تنها یک بار مقداردهی می‌شود، یک مرتب سازی پرهزینه، همراه با چندین عمل استخراج کم‌هزینه انجام می شود. در حالت کلی، این روش نیازمند زمان $O(n log n)$ است، که در آن n طول لیست است.

الگوریتم‌های کمینه/بیشینه خطی

الگوریتم‌‌های خطی، از لحاظ زمانی، برای پیدا کردن کمینه‌ها یا بیشینه‌ها این گونه کار می‌کنند که روی لیست تکرار می‌کنند و رد کمینه یا بیشینه تا هر بار نگه می‌دارند.

الگوریتم کلی انتخاب غیر خطی

با کمک ایده‌های مورد استفاده در الگوریتم‌های کمینه/بیشینه، ما می‌توانیم یک الگوریتم کلی ساده، ولی ناکارامد برای پیدا کردن کوچک‌ترین kامین یا بزرگ‌ترین k عنصر در یک لیست بدهیم، که نیاز به زمان $O(k)$ دارد، که وقتی k کوچک باشد مؤثر است. برای انجام دادن آن، ما به سادگی کوچک‌ترین/بزرگ‌ترین مقدار را می‌‌یابیم و آن را به ابتدای بازه حرکت می‌دهیم تا به اندیس دلخواه برسیم. این کار را می‌توانیم به عنوان یک مرتب سازی انتخابی ناتمام ببینیم. در اینجا الگوریتم بر اساس کمینه را می بینیم:

 function select(list[1..n], k)
     for i from 1 to k
         minIndex = i
         minValue = list[i]
         for j from i+1 to n
             if list[j] < minValue
                 minIndex = j
                 minValue = list[j]
         swap list[i] and list[minIndex]
     return list[k]

دیگر مزیت های این روش عبارتند از:

• بعد از پیدا کردن کوچک‌ترین jامین عنصر، برای پیدا کردن کوچک‌ترین kامین عنصر، تنها زمان (O(j + (k-j)² یا برای k ≤ j تنها زمان $O(k)$ مورد نیاز است.
• در رویه‌ای که بر پایه‌ی افراز است و به دسترسی تصادفی نیاز دارد، می‌توان از داده‌ساختار لیست پیوندی برای پیاده‌سازی استفاده کرد.

الگوریتم کلی انتخاب بر پایه‌ی افراز

یک الگوریتم فراگیر انتخاب که در عمل کارآمد است، اما در بدترین حالت کارایی ضعیفی دارد، توسط ابداع‌کننده‌ی مرتب‌سازی سریع، سی.اِی.آر هوار، ارائه شده است. این الگوریتم به نام الگوریتم انتخاب هوار یا انتخاب سریع شناخته می‌شود.

در مرتب‌سازی سریع، یک زیررَویه به نام افراز وجود دارد که می تواند در زمان خطی، یک لیست را به دو بخش left و right تقسیم‌بندی می‌کند که یک گروه کوچک‌تر از یک عنصر خاص و گروه دیگر بزرگ‌تر یا مساوی آن عنصر خاص هستند. اینجا سودوکدی را می‌بینیم که یک افراز را برای عنصر list[pivotIndex] اجرا می‌کند:

 function partition(list, left, right, pivotIndex)
     pivotValue := list[pivotIndex]
     swap list[pivotIndex] and list[right]  // Move pivot to end
     storeIndex := left
     for i from left to right
         if list[i] < pivotValue
             swap list[storeIndex] and list[i]
             increment storeIndex
     swap list[right] and list[storeIndex]  // Move pivot to its final place
     return storeIndex

در مرتب‌سازی سریع، ما به صورت بازگشتی هر دو شاخه را در بهترین حالت در زمان $O(n log n)$ مرتب می‌کنیم. اما، وقتی که انتخاب انجام می‌دهیم، از می‌دانیم که عنصر مورد نظر ما در کدام افراز قرار دارد، چون محور (انگلیسی: pivot) در محل نهایی مرتب‌شده‌ی خود قرار دارد و از همه‌ی عناصر قبل از خود بزرگ‌تر و از همه‌ی عناصر بعد از خود کوچک‌تر یا مساوی است. بنابر این یک فراخوانی بازگشتی می‌تواند مکان یک عنصر دلخواه را در افراز درست بیابد:

 function select(list, left, right, k)
     if left = right // If the list contains only one element
         return list[left]  // Return that element
     select pivotIndex between left and right
     pivotNewIndex := partition(list, left, right, pivotIndex)
     pivotDist := pivotNewIndex - left + 1 
     // The pivot is in its final sorted position, 
     // so pivotDist reflects its 1-based position if list were sorted
     if pivotDist = k 
         return list[pivotNewIndex]
     else if k < pivotDist 
         return select(list, left, pivotNewIndex - 1, k)
     else
         return select(list, pivotNewIndex + 1, right, k - pivotDist)

مانند مرتب‌سازی سریع، کارایی الگوریتم به محوری که انتخاب می‌شود بستگی دارد. اگر محورهای نامناسب به طور متوالی انتخاب شوند، این رویه به انتخاب بر پایه‌ی کمینه، که قبلاً گفته شد، تنزل پیدا می‌کند و در نتیجه به زمان (O(n² نیاز پیدا خواهد کرد.

الگوریتم کلی انتخاب به صورت خطی - الگوریتم میانه‌ی میانه‌ها

یک الگوریتم با بدترین زمان اجرای خطی برای حالت کلی انتخاب kامین بزرگ‌ترین عنصر توسط بلوم، فلوید، پرت، ریوست و ترجان در مقاله سال ۱۹۳۷ با نام «حدود زمانی برای انتخاب» منتشر شد. گاهی از این الگوریتم با نام BFPRT، که حروف اول نام خانوادگی نویسندگان آن است، یاد می‌شود. این الگوریتم بر اساس الگوریتم انتخاب سریع کار می‌کند و هم‌چنین به نام الگوریتم میانه‌ی میانه‌ها شناخته می‌شود.

هرچند انتخاب سریع به طور میانگین دارای زمان خطی است، زمانی که محورهای ضعیفی استفاده شوند می‌تواند به زمان از درجه دوم نیاز پیدا کند (حالتی را در نظر بگیرید که در هر گام، محور در نزدیکی کوچک‌ترین عنصر انتخاب شود). راه چاره برای اینکه آن را به $O(n)$ در بدترین حالت تبدیل کنیم این است که به طور پیوسته در هر گام محور مناسب را بیابیم. یک محور خوب باید به گونه‌باشد که بتوانیم اطمینان داشته باشیم نسبت ثابتی از عناصر قبل از آن و بعد از آن قرار بگیرند.

الگوریتم انتخاب لیست را به گروه‌هایی شامل پنج عنصر تقسیم می‌کند.(فعلاً با عناصر باقی‌مانده کاری نداریم). سپس، برای هر گروه پنج‌تایی، میانه محاسبه می‌شود (اگر آن پنج مقدار داخل ثبّات‌ها بارگذاری شوند و مقایسه شوند، عملیات به طور بالقوه بسیار سریع انجام می‌شود). (اگر مرتب‌سازی به صورت درجا صورت گیرد، این میانه‌ها به یک بلوک پیوسته در لیست منتقل می‌شوند.) انتخاب به صورت بازگشتی در این زیرلیست‌های n/5 عنصری فراخوانده می‌شود تا مقدار واقعی میانه یافت شود. سرانجام، میانه‌ی میانه‌ها به عنوان محور انتخاب می‌شود.

ویژگی‌های محور

محور انتخاب شده، از نیمی از عناصر لیست میانه‌ها بزرگ‌تر و از نیمه‌ی دیگر کوچک‌تر است، به طوری که در هر نیمه $n/10$ عنصر $(1/2 * (n/5))$ قرار دارند. هر کدام از این عناصر، میانه‌ی ۵ عنصر است و از ۲ عنصر کوچک‌تر و از ۲ عنصر در خارج از بلوک بزرگ‌تر است. پس، محور کوچک‌تر از $3(n/10)$ عناصر خارج از بلوک است، و از $3(n/10)$ عنصر دیگر خارج از بلوک بزرگ‌تر است. بنا بر این، میانه‌ی انتخاب شده، عناصر را به مکانی بین 30%/70% و 70%/30% تقسیم می‌کند. این کار به ما اطمینان می‌دهد که رفتار الگوریتم در بدترین حالت خطی است. برای به دست آوردن شهود کافی به جدول زیر دقت کنید:

یک تکرار روی لیست {99...,0,1,2,3}

	12		15		11		2		9		5		0		7		3		21		44		40		1		18		20		32		19		35		37		39
	13		16		14		8		10		26		6		33		4		27		49		46		52		25		51		34		43		56		72		79
میانه‌ها	17		23		24		28		29		30		31		36		42		47		50		55		58		60		63		65		66		67		81		83
	22		45		38		53		61		41		62		82		54		48		59		57		71		78		64		80		70		76		85		87
	96		95		94		86		89		69		68		97		73		92		74		88		99		84		75		90		77		93		98		91

(راهنمای رنگ‌های جدول: قرمز = «(یکی از دو حالت ممکن) میانه‌ی میانه‌ها»، خاکستری = «شماره < قرمز»، سفید = «شماره > قرمز»)

در جدول بالا، برای وضوح بیشتر ۵-تایی ها بر اساس میانه مرتب شده‌اند. مرتبسازی چندتایی‌ها لزومی ندارد، زیرا ما تنها به میانه برای استفاده به عنوان عنصر محور نیاز داریم.

توجه داشته باشید که تمام عناصر بالا/چپ خانه‌ی قرمز (۳۰٪ از ۱۰۰ عنصر) کوچک‌تر از قرمز، و تمام عناصر پایین/راست خانه‌ی قرمز (۳۰٪ دیگر از ۱۰۰ عنصر) بزرگتر از قرمز هستند.

اثبات زمان اجرای (O(n

محاسبه‌ی میانه به طور بازگشتی، در بدترین حالت از درجه خطی بیشتر نخواهد شد، زیرا لیست میانه‌ها ۲۰٪ از اندازه‌ی لیست است، در حالی که فراخوانی بازگشتی دیگر حداکثر روی ۷۰٪ لیست لیست اجرا می‌شود. بنا بر این زمان اجرا به صورت زیر می‌شود:

 T(n) ≤ T(n/5) + T(7n/10) + O(n)

زمان (O(n ناشی از عمل افراز کردن است ( ما هر عنصر را به تعداد دفعات ثابتی ملاقات می‌کنیم، تا آن‌ها را به گروه‌های (O(n دسته‌بندی کنیم و هر میانه را در زمان (O(n به دست آوریم. به این ترتیب می‌توان نشان داد که

T(n) ≤ c*n*(1 + (9/10) + (9/10)² + ...) = O(n).

منابع

• M. Blum, R.W. Floyd, V. Pratt, R. Rivest and R. Tarjan, "Time bounds for selection," J. Comput. System Sci. 7 (1973) 448-461.
• K. C. Kiwiel. On Floyd and Rivest’s SELECT Algorithm, Theoretical Computer Sci. 347 (2005) 214-238.
• دانلد کنوت. هنر برنامه‌نویسی رایانه, Volume 3: Sorting and Searching, Third Edition. Addison-Wesley, 1997. ISBN 0-201-89685-0. Section 5.3.3: Minimum-Comparison Selection, pp.207–219.
• توماس اچ کورمن, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and کلیفورد استین. مقدمه‌ای بر الگوریتم‌ها, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Chapter 9: Medians and Order Statistics, pp.183–196. Section 14.1: Dynamic order statistics, pp.302–308.
• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Selection Algorithm»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۲۵ نوامبر ۲۰۱۱).