داده‌های پانلی

در آمار و اقتصاد سنجی، مجموعه داده‌های پانلی شامل مشاهداتی برای چندین بخش(خانوار، بنگاه و...) می باشند که در طی زمان‌های مختلف جمع آوری شده اند. یعنی یک مدل داده‌های پانل حاوی اطلاعاتی در زمان و مکان است که شامل N مؤلفه در T دوره زمانی می باشد.

اگر تعداد مشاهدات زمانی برای تمام مؤلفه‌های موجود در پانل یکسان باشد، به آن پانل متوازن(Balanced Panel) گفته می شود. اما در صورتی که مشاهدات مفقوده ای برای تعدادی از مؤلفه‌ها وجود داشته باشد، پانل را نامتوازن می نامیم.

مزایای داده‌های پانل

1- محققین می توانند از داده‌های پانلی برای مواردی که مسائل را نمی توان صرفا به صورت سری زمانی یا برشهای مقطعی بررسی کرد، بهره گیرند. مثلا در بررسی تابع تولید مساله ای که وجود دارد این است که بتوان تغییرات تکنولوژیک را از صرفه‌های به مقیاس تفکیک کرد. در این گونه موارد داده‌های مقطعی فقط اطلاعاتی را در مورد صرفه‌های به مقیاس فراهم می آورد. در حالی که داده‌های سری زمانی اثرات هردو را بدون هیچ گونه تفکیکی نشان می دهد. تلفیق داده‌های سری زمانی با داده‌های مقطعی نه تنها می تواند اطلاعات سودمندی را برای تخمین مدلهای اقتصادسنجی فراهم آورد، بلکه بر مبنای نتایج بدست آمده می توان استنباط‌های سیاستگزاری در خور توجهی نیز به عمل آورد.

2- داده‌های پانلی حاوی اطلاعات بیشتر، تنوع گسترده تر و هم خطی کمتر میان متغیرها بوده و در نتیجه کاراتر می باشند. در حالیکه در سریهای زمانی هم خطی بیشتری را بین متغیرها مشاهده می کنیم. با توجه به اینکه داده‌های پانلی ترکیبی از سری‌های زمانی و مقطعی می باشد، بعد مقطعی موجب اضافه شدن تنوع زیادی شده و در نتیجه برآوردهای معتبرتری را می توان انجام داد. در اینجا تعداد مشاهدات ما به NT افزایش یافته که منجر به برآوردهای کاراتری از متغیرها می شود.این امر را می توان در محاسبه واریانس جامعه مشاهده کرد. در داده‌های سری زمانی این واریانس به صورت σ^2=σ2/N-K محاسبه می‌شود ولی در داده‌های پانلی به صورت σ^2=σ2/NT-N-K قابل محاسبه است. چون مخرج کسر دومی بزرگتر از کسر اولی است، پس واریانس داده‌های پانلی کمتر بوده و بنابراین تخمین کاراتری خواهد داشت.

3- داده‌های پانلی امکان طراحی الگوهای رفتاری پیچیده تری را فراهم می کنند.

4- داده‌های پانلی امکان بیشتری را برای شناسایی و اندازه گیری اثراتی فراهم می کنند که با اتکای صرف به آمارهای مقطعی یا سری زمانی به سادگی قابل شناسایی نیستند.

روشهای تخمین مدل

نمونه مدلی که برای توضیح رفتار متغیرها در این نوع داده‌ها می توان ساخت به صورت زیر است:

$Y_{it} = \alpha_{i} + \beta' X_{it} + u_{it}.$

که در آن β یک بردار k*1 از پارامترها، $X_{it}$ یک بردار k*1 از مشاهدات مربوط به متغیرهای توضیحی، t=1,2,...,T و i=1,2,...,N است. همچنین فرض بر این است که جمله اخلال یک نوفه سفید (white noise) است.
قبل از هر جیز باید نوع داده ها از جهت پانل و یا پولین بودن مشخص گردد که برای این منظور از آزمون لیمر استفاده خواهد شد که دارای آماره F می باشد. در این جا دو حالت وجود دارد یا داده های ما از نوع پولینگ می باشند که باید با استفاده از روش اثرات مشترک تخمین زده شوند، و یا داده ها از نوع پانل هستند کا باید با استفاده از یکی از دو روش اثرات پابت و یا اثرات متغیر که در ادامه ارائه شده ان تخمین زده شوند (عزت الله لطفی، 1391).

نخست مدل اثرات ثابت که در آن $\alpha_{i}$ ها N پارامتر نامعلوم ولی ثابت هستند و دیگری مدل اثرات تصادفی که در آن عرض از مبدا ثابت نبوده و تصادفی است و همچنین مستقل از متغیرهای توضیحی می باشد.

مدل اثرات ثابت

در این مدل هر یک از مولفه‌ها یک مقدار ثابت مخصوص به خود دارد و به دلیل آنکه برای کار کردن با هر یک از این مقادیر ثابت، یک متغیر مجازی دز نظر گرفته می شود، تخمین زن اثرات ثابت، تخمین زن متغیرهای مجازی حداقل مربعات(LSDV) نیز نامیده می شود. این مدل را می توان به شکل زیر نوشت:

$Y =D \alpha + X \beta + u.$ که در آن D ماتریس متغیرهای مجازی با ابعاد NT*N. و X ماتریس متغیرهای توضیحی با ابعاد NT*k. و β نیز ماتریس ضرایب با ابعاد k*1 می باشند.

مدل اخیر یک مدل رگرسیونی کلاسیک بوده و هیچ شرط جدیدی برای تجزیه و تحلیل آن لازم نیست و می توان مدل را با استفاده از OLS برآورد کرد.

مزیت مدل با اثرات ثابت این است که می تواند اثراتی را که در هر یک از مؤلفه‌ها متفاوت است ولی در طول زمان تغییر نمی کند، نشان دهد. البته پس از تشکیل مدل دیگر نمی توان به آن متغیری افزود که در طول زمان تغییر نکند، چرا که با اثرات ثابت موجود همخطی کامل پیدا خواهد کرد. از سوی دیگر عیب چنین مدلی این است که در آن باید برای هریک از متغیرهای مجازی یک ضریب و در مجموع N ضریب تخمین زد. این امر هنگامی که تعداد مؤلفه‌ها یعنی N خیلی زیاد باشد، که معمولاً نیز چنین است، مسئله ساز خواهد شد.

برای برطرف کردن این مشکل یک راه آن است که میانگین زمانی هر یک از متغیرها را از مقدار اصلی آنها کم کنیم. با این کار به مدلی می رسیم که فاقد عرض از مبدأ خواهد بود و می توانیم روش حداقل مربعات معمولی رابرای آن اجرا کنیم که مراحل تکنیکی آن در زیر آورده شده است:
$y_{it}-\overline{y_{i}}=\left(X_{it}-\overline{X_{i}}\right) \beta+\left( u_{it}-\overline{u_{i}}\right)$ where $\overline{X_{i}}=\frac{1}{T}\sum\limits_{t=1}^{T}X_{it}$ and $\overline{u_{i}}=\frac{1}{T}\sum\limits_{t=1}^{T}u_{it}$.
$\qquad\hat{\beta}_{FE}=\left( \sum\limits_{i,t}^{I}\widehat{x}_{it}^{\prime }\widehat{x}_{it}\right) ^{-1}\sum\limits_{i,t}^{I}\widehat{x}_{it}^{\prime }\widehat{y}_{it}$

where $\widehat{x}_{it}=\left( X_{it}-\overline{X_{i}}\right)$ and $\widehat{y}_{it}=y_{it}-\overline{y_{i}}$

روش دیگر آن است که تفاضل مرتبه اول متغیرها را به جای آنها در مدل به کار ببریم. دراین صورت نیز عرض از مبدأ از مدل حذف می‌شود و مشکل تعداد زیاد پارامترها برای تخمین نیز برطرف می گردد:
$y_{it}-y_{it-1}=\left( X_{it} -X_{it-1}\right) \beta+\left( u_{it}-u_{it-1}\right)$
$\hat{\beta}_{FD}=\left( \sum\limits_{i,t}^{I}\widehat{x}_{it}^{\prime }\widehat{x}_{it}\right) ^{-1}\sum\limits_{i,t}^{I}\widehat{x}_{it}^{\prime }\widehat{y}_{it}$
where $\widehat{x}_{it}=\left( X_{it}-X_{it-1}\right)$ and $\widehat{y}_{it}=y_{it}-y_{it-1}$

مدل اثرات تصادفی

یک روش جایگزین برای تخمین مدل اثرات ثابت، تخمین مدل اثرات تصادفی است. تفاوت چنین مدلی با اثرات ثابت این است که در آن عرض از مبدأ مختص هر یک از متغیرها مقادیر ثابتی نیستند، بلکه به صورت تصادفی انتخاب می شوند. لذا مقدار $\alpha_{i}$ در مدل کلی برابر است با $\alpha_{it} = \mu_i + \nu_{it}.$ که در آن $\nu_{i}$ یک متغیر تصادفی نوفه سفید با میانگین صفر و واریانس $\sigma^2_{\nu}$است. یک فرض مهم این است که متغیر $\nu_{i}$ باید مستقل از متغیرهای توضیحی و اجزای خطای $u_{i}$ باشد. اگر $\nu_{i}$ها با متغیرهای توضیحی همبسته باشند، آنگاه تخمین زن‌های اریب و ناسازگاری بدست خواهند آمد. از سوی دیگر مزیت این مدل بر مدل اثرات ثابت آن است که تعدادپارامترهای کمتری باید تخمین زده شود.

فرم کلی چنین مدلی به صورت روبرو می باشد:

$Y_{it} =\mu + \beta' X_{it} + v_{i} + u_{it}.$

برای تخمین این مدل باید توجه داشت که در این حالت واریانس‌های مربوط به مقاطع مختلف با هم یکسان نبوده و مدل ما دچار واریانس ناهمسانی می‌باشد که باید از با استفاده از برآوردگر GLS آن را تخمین زد. به صورت زیر:

$\widehat{\beta}=(X'\Omega^{-1} X)^{-1}(X'\Omega^{-1}Y)\,$

$\widehat{\Omega}=\Iota \otimes \Sigma\,$

که در آن $\Sigma$ واریانس $u_{it}$ و $\Iota$ ماتریس واحد و $\Omega$ ماتریس واریانس-کوواریانس می باشد.

با معرفی این دو روش سؤالی که پیش می آید این است که در عمل ما بایستی کدامیک از روشهای مذکور را استفاده کنیم. برای تصمیم گیری از آزمون هاسمن کمک می گیریم.

آزمون هاسمن

برای آنکه بتوانیم بین مدلهای اثرات ثابت و اثرات تصادفی از نظر قدرت توضیح دهندگی متغیر وابسته مقایسه ای انجام دهیم، از آزمونی به نام آزمون هاسمن استفاده می کنیم. از آنجا که برای انجام مقایسه بین این دو مدل باید وجود همبستگی بین اثرات تصادفی($\alpha_{i}$ ) و رگرسورها را مورد آزمون قرار دهیم، لذا در آزمون هاسمن فرضیه صفر این است که هیچ همبستگی میان اثرات تصادفی و رگرسورها وجود ندارد. تحت این فرضیه، تخمین زن هایOLS وGLS هر دو سازگار هستند ولی تخمین زن OLS ناکاراست. در شرایطی که تحت فرضیه مقابل، تخمین زن OLS کارا و سازگار ولی تخمین زن GLS ناسازگار است.

آماره این آزمون به صورت زیر است:
$H=(b_{1}-b_{0})'(\operatorname{Var}(b_{0})-\operatorname{Var}(b_{1}))^{-1}(b_{1}-b_{0}),$

چنانچه آماره آزمون محاسبه شده بزرگتر از مقدار جدول باشد، فرضیه H0 رد شده و همبستگی وجود داشته و در نتیجه باید از روش اثرات تصادفی استفاده کرد.

پانویس

• http://en.wikipedia.org/wiki/Random_effects_model
• http://en.wikipedia.org/wiki/Fixed_effects_model
• http://en.wikipedia.org/wiki/Hausman_test

منابع

• Verbeek، Marno. A Guide to Modern Econometrics، 2nd edition،John Wiley &Sons 2004
• http://en.wikipedia.org/wiki/Panel_data
• http://www.dpzs.ir
• http://www.srtc.ac.ir/dic2.htm

جستارهای وابسته

• اقتصاد سنجی
• سری زمانی
• داده‌های مقطعی