پیش‌نویس:مدل اتصال واسطه ای

در ساخت یک شبکه­ ی بی مقیاس (به انگلیسی: Scale-free Network) از مدل اتصال واسطه­ ای به عنوان راهی برای به کار بردن قاعده­ ی اتصال ترجیحی (به انگلیسی:  Preferential attachment) به صورت غیر مستقیم استفاده می­شود. بر طبق این مدل یک گره یا راس جدید ابتدا یک راس موجود در شبکه را به صورت تصادفی انتخاب می کند و نه با آن، بلکه به یکی از همسایه­ هایی آن که به طور تصادفی انتخاب شده است، متصل می شود.

بیشتر شبکه­ های موجود (طبیعی یا ساخته شده به وسیله­ انسان)، دارای دینامیک هستند (در طول زمان ساکن نیستند) و در با گذشت زمان تغییر می­کنند. بر طبق مدل بارباسی-آلبرت هنگامی که گره ای جدید به شبکه افزوده می­شود، اتصال آن به گره های موجود در شبکه تصادفی نبوده و وابسته به درجه راس گره­ ها دارد. به این معنی که هر چه درجه راس یک گره زیاد­تر باشد، احتمال اینکه این گره جدید به آن متصل شود هم بیشتر است. به این سازکار اتصال ترجیحی می­­گویند. در مدل اولیه ­­ی بارباسی­-آلبرت، این احتمال به صورت زیر انتخاب می­شود:

$\Pi (i)={\frac {k_{i}}{\sum _{j=1}k_{j}}}$

مقاله­ ی یک مدل به اسم اتصال واسطه ­ای ارائه داده است که به شکلی غیر مستقیم، اتصال ترجیحی را به کار میبرد. در این مدل یک گره یا راس جدید که وارد شبکه می­شود، ابتدا یک گره درون شبکه را به صورت تصادفی برمی­گزیند که به آن واسطه میگویند. سپس یکی از همسایه ­های راس برگزیده یا همان را واسطه را (مجددا به صورت تصادفی) انتخاب کرده و به آن متصل می­شود. حال سوال اینجاست که تابع احتمال $\Pi (i)$، که بیانگر احتمال اتصال راس $i$ام به راس جدید است، به چه صورتی خواهد شد. میدانیم که راس $i$ دارای $1,2,\ldots ,k_{i}$ تا راس همسایه است ($k_{i}$ درجه راس $i$ است). حالا فرض میکنیم که همسایه­ های راس $i$ دارای اندیس های $1,2,\ldots ,k_{i}$ باشند که هر کدام درجه راس $k_{1},k_{2},\ldots ,k_{k_{i}}$  دارند. از هر راس همسایه $i$ با احتمال معکوس درجه راس می توان به راس $i$ رسید و احتمال انتخاب هر کدام از راس های همسایه ی $i$ به عنوان واسطه برابر با $1/N$ خواهد بود. بنابراین تابع $\Pi (i)$ به شکل زیر است:

$\Pi (i)={\frac {1}{N}}\left[{\frac {1}{k_{1}}}+{\frac {1}{k_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{k_{k_{i}}}}\right]={\frac {\sum _{j=1}^{k_{i}}{\frac {1}{k_{j}}}}{N}}$

که میتوان آن را به شکل زیر بازنویسی کرد:

$\Pi (i)={\frac {k_{i}}{N}}\cdot {\frac {\sum _{j=1}^{k_{i}}{\frac {1}{k_{j}}}}{k_{i}}}$

که به ضریب ${\frac {\sum _{j=1}^{k_{i}}{\frac {1}{k_{j}}}}{k_{i}}}$ معکوس میانگین هارمونیک (به انگلیسی: Inverse of the Harmonic Mean-IHM) درجه ی راس های همسایه های راس $i$ام ($k_{1},k_{2},\ldots ,k_{k_{i}}$) می گویند. با یک شبیه سازی عددی می توان به این نکته پی برد که در حد$m$ های بزرگ (تعداد یال های راس جدید)، ضریب IHM برای تمام راس های شبکه به یک مقدار ثابتی میل میکنند. در این حد میتوان رابطه ی $\Pi (i)\propto k_{i}$ را برداشت کرد که همان اتصال ترجیحی است. به نوعی به این معنی است که هر چه اتصالات (درجه) یک راس بالاتر باشد، شانس آن برای به دست آوردن اتصالات بیشتر، بیشتر است. زیرا می توان به روش های بیشتری از طریق واسطه ها به آنها دسترسی پیدا کرد که اساساً ایده شهودی ثروتمند ثروتمندتر می شود را در بر می گیرد.

تابع توزیع درجه راس

از آنجایی که ضریب IHM ،${\frac {\sum _{j=1}^{k_{i}}{\frac {1}{k_{j}}}}{k_{i}}}$، در حد های بالای $m$ به صورت مستقل از $N$ عمل میکند، میتوان از تقریب میدان متوسط استفاده کرد. یعنی می توان مقدار IHM هر راس را با مقدار میانگیری شده بین همه راس ها، تقریب زد. سپس معادله ی سرعت رشد درجه ی هر راس، دقیقا مانند این معادله در مدل بارباسی-آلبرت می شود. و بنابراین شبکه ای که حاصل میشود یک شبکه ی بی مقیاس خواهد بود. تنها تفاوت آنها نمای تابع توزیع است. در مدل اتصال واسطه ای نما به صورت $\gamma ={{1} \over {\beta (m)}}+1$ و به $m$ وابسته است اما در مدل بارباسی_آلبرت نما $\gamma =3$ به شکل و مستقل از $m$ می باشد.