منیفلد دیفرانسیل‌پذیر

اطلس غیر دیفرانسیل‌پذیری از چارت های کره زمین است. اگر اطلس دیفرانسیل پذیر نباشد، ممکن است حساب دیفرانسیل بین چارت‌ها سازگار نباشد. در چارت‌های راست و مرکزی، مرکز رأس‌السرطان یک خم هموار است، در حالی که در چارت سمت چپ یک گوشه تیز دارد. مفهوم منیفلد دیفرانسیل پذیر، همان مفهوم منیفلد را با الزام به دیفرانسیل پذیر بودن توابع بین چارت‌ها، ظریف تر می کند.

در ریاضیات، یک منیفلد دیفرانسیل‌پذیر (به انگلیسی: Differential Manifold) نوعی منیفلد است که جهت انجام حساب دیفرانسیل و انتگرال، به طور موضعی به میزان کافی به یک فضای خطی شبیه اند. هر منیفلدی را می توان توسط گردایه ای از چارت‌ها که به آن اطلس هم می گویند، توصیف کرد. آنگاه می توان ایده‌هایی را از حسابان به کار گرفت، در حالی که هر چارت در فضایی خطی قرار داشته که در ان می توان قواعد حسابان را به کار برد. اگر چارت‌ها به طرز مناسبی با هم سازگار باشند (یعنی تابع انتقال از یک چارت به دیگری دیفرانسیل پذیر باشد)، محاسبات انجام گرفته در یک چارت در بقیه چارت‌های دیفرانسیل پذیر نیز برقرار است.

به زبان صوری، یک منیفلد دیفرانسیل‌پذیر، منیفلدی توپولوژیک است که ساختار دیفرانسیل سرتاسری بر روی آن تعریف شده است. هر منیفلد توپولوژیکی را می توان به طور موضعی و با کمک هومئومورفیسم ها در اطلس و یک ساختار استاندارد دیفرانسیل رو یک فضای خطی، مجهز به یک ساختار دیفرانسیل کرد. برای القای یک ساختار دیفرانسیل روی دستگاه های مختصاتی موضعی با استفاده از هومئومورفیسم‌ها، ترکیبشان روی اشتراک چارت ها باید توابعی دیفرانسیل پذیر روی فضای خطی متناظر باشد. به بیان دیگر، اگر دامنه چارت‌ها همپوشانی داشته باشند، مختصات تعریف شده توسط هر چارت باید نسبت به مختصات تعریف شده در هر چارت از اطلس نیز دیفرانسیل پذیر باشد. نگاشت‌هایی که مختصات تعریف شده توسط چارت‌های مختلف را به هم مرتبط می کنند را نگاشت‌های انتقال گویند.

دیفرانسیل‌پذیری در موقعیت های مختلف، معانی مختلفی دارد: به طور پیوسته دیفرانسیل‌پذیر، k بار دیفرانسیل پذیر، هموار و هولومورفیک. به علاوه، امکان القای چنین ساختار دیفرانسیلی روی یک فضای مجرد، امکان گسترش تعریف دیرانسیل پذیری به فضاهایی که دستگاه مختصات سرتاسری ندارند را نیز می دهد. یک ساختار دیفرانسیل امکان تعریف فضای مماس دیفرانسیل پذیر سرتاسری، توابع دیفرانسیل‌پذیر، تنسور دیفرانسیل پذیر و میدان برداری را می دهد. منیفلدهای دیفرانسیل‌پذیر در فیزیک اهمیت بالایی دارند. برخی از انواع خاص منیفلدهای دیفرانسیل پذیر پایه ای برای نظریات فیزیکی چون مکانیک کلاسیک، نسبیت عام و نظریه یانگ-میلز را می دهد. امکان تکوین حاسابان برای منیفلدهای دیفرانسیل‌پذیر وجود دارد. از نتایج این تکوین، ماشین های ریاضیاتی چون حساب خارجی می باشد. به مطالعه حسابان روی منیفلدهای دیفرانسیل پذیر هندسه دیفرانسیل می گویند.

منابع

• Donaldson, Simon (1983). "An application of gauge theory to four-dimensional topology". Journal of Differential Geometry. 18 (2): 279–315. doi:10.4310/jdg/1214437665.
• Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9.
• "Differentiable manifold", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Kervaire, Michel A. (1960). "A manifold which does not admit any differentiable structure". Commentarii Mathematici Helvetici. 34 (1): 257–270. doi:10.1007/BF02565940. S2CID 120977898..
• Kobayashi, Shoshichi (1972). Transformation groups in differential geometry. Springer.
• Lee, Jeffrey M. (2009), Manifolds and Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics, vol. 107, Providence: American Mathematical Society, ISBN 9780821848159 .
• Levi-Civita, Tullio (1927). "The absolute differential calculus (calculus of tensors)". Nature. 120 (3024): 542–543. Bibcode:1927Natur.120..542B. doi:10.1038/120542a0. S2CID 4109613.
• Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1992). Sheaves in Geometry and Logic. Springer. ISBN 0-387-97710-4.
• Milnor, John (1956). "On manifolds homeomorphic to the 7-Sphere". Annals of Mathematics. 64 (2): 399–405. doi:10.2307/1969983. JSTOR 1969983.
• Ranicki, Andrew (2002). Algebraic and Geometric Surgery. Oxford Mathematical Monographs, Clarendon Press. ISBN 0-19-850924-3.
• Ricci-Curbastro, Gregorio; Levi-Civita, Tullio (1901). Die Methoden des absoluten Differentialkalkuls.
• Ricci-Curbastro, Gregorio (1888). "Delle derivazioni covarianti e controvarianti e del loro uso nella analisi applicata" (به ایتالیایی). {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)
• Riemann, Bernhard (1867). "Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (On the Hypotheses which lie at the Bases of Geometry)". Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. 13.
• Sela, Zlil (1995). "The isomorphism problem for hyperbolic groups. I". Annals of Mathematics. 141 (2): 217–283. doi:10.2307/2118520. JSTOR 2118520.
• Sternberg, Shlomo (1964). Lectures on Differential Geometry. Prentice-Hall.
• Weisstein, Eric W. "Smooth Manifold". Retrieved 2008-03-04.
• Weyl, Hermann (1955). Die Idee der Riemannschen Fläche. Teubner.
• Whitney, Hassler (1936). "Differentiable manifolds". Annals of Mathematics. 37 (3): 645–680. doi:10.2307/1968482. JSTOR 1968482.