قضیه کلازیوس

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

قضیه کلازیوس(به انگلیسی: Clausius's theorem) در علم ترمودینامیک و در بحث چرخه های ترمودینامیکی، بیان ریاضی گونه قانون دوم ترمودینامیک است و همچنین آن را نامساوی کلازیوس نیز می‌خوانند که توسط رودلف کلاوزیوس مطرح شد. این قضیه قصد توضیح رابطه‌ای بین شار گرما و آنتروپی یک سیستم و محیط اطراف آن را دارد.

تاریخچه[ویرایش]

قضیه کلازیوس یک توضیح ریاضی وار قانون دوم ترمودینامیک است. همچنین به عنوان نابرابری کلازیوس هم خوانده می‌شود،این قضیه توسط رودلف کلاوزیوس برای توصیف رابطه بین شار گرما و آنتروپی سامانه با محیط اطرافش تبیین شده است. کلاوزیوس تلاشی هم در توصیف آنتروپی در پی این قضیه اش کرد. به طور دقیق تر، این قضیه راهی برای تعیین بازگشت پذیر بودن ویا بازگشت پذیر نبودن یک فرآیند چرخه ای می‌دهد. این قضیه مبانی درک بهتر قانون دوم ترمودینامیک را مهیا کرد.

کلاوزیوس یکی از پیشگامان کار کردن روی ایده آنتروپی بود و حتی در تعیین نام این کمیت هم مؤثر بوده است. او در سال ۱۸۶۲ در پی انتشار مقاله ای با نام راهکارهای قضیه هم ارزی برای کار داخلی، مفهوم آنتروپی را معرفی نمود.کلاوزیوس در پی آن بود رابطه تناسب بین آنتروپی و شارش انرژی به صورت گرما در یک سامانه را نشان دهد. در یک سامانه،در طول یک فرآیند چرخه ای انرژی گرمایی می‌تواند به کار تبدیل شود و کار به گرما تبدیل شود. کلاوزیوس متذکر شد که ٬٬ جمع جبری تمام تبدیلات اتفاق افتاده در یک فرآیند چرخه‌ای می‌تواند تنها کمتر از صفر باشد، در یک مورد اضافی، می‌تواند برابر با صفر باشد. به عبارت دیگر، معادله

به عنوان گرما شارش یافته از (در) سامانه به (از) محیط و دمای مطلق سامانه وقتی که انرژی جذب (گسیل) شده است. معادله پیشین برای هر فرآیند چرخه‌ای و برگشت پذیری صحیح است. کلاوزیوس معادله زیر را برای هر تحول سامانه ای ممکنی به صورت چرخه‌ای و برگشت ناپذیر نوشت، که به نابرابری کلاوزیوس یا همان قضیه وی موسوم شد.

اکنون که نابرابری او را شناختیم باید رابطه‌ای بین معادلات پیشین و مفهوم آنتروپی گسترش دهیم. مقدار تغییرات آنتروپی یک سامانه در طول یک فرآیند چرخه‌ای به صورت زیر می‌باشد.

آنتروپی یک تابع حالت است، این همچنین از قانون دوم ترمودینامیک قابل بررسی است. تابع حالت بودن تنها وابسته است به نقاطی که سامانه در آن به حالت تعادل می‌رسد و نه به مسیری که سامانه طی می‌کند تا به حالت تعادل برسد. اما در خلاف این موضوع گرما و کار ، این دو مفهوم شدیدا وابسته هستند به مسیر طی شده توسط سامانه. در صورت ریاضی وار این معادلات برای آنکه تفاوت این دو تغییر را متذکر شویم بر سر عملگر مشتق گیری کار و گرما یک خط شکسته می‌گذاریم، در اصطلاح فیزیکی کار و گرما را دو مشتق ناکامل می‌گویند. در یک تحول برگشت پذیر چرخه‌ای سامانه چون سامانه در نهایت به نقطه ابتدایی خود باز میگردد تغببرات آنتروپی برابر صفر است. اما در یک تحول برگشت ناپذیز چرخه‌ای سامانه چنین نیست و تغییرات آنتروپی همیشه کمتر از صفر است.

تعریف[ویرایش]

قضیه کلازیوس در یک چرخه‌ی ترمودینامیکی اظهار می کند که:

که در آن δQ مقدار گرمای گرفته شده توسط سیستم در یک چرخه‌ی ترمودینامیکی است. انتگرال خطی منحنی بسته‌ی بالا، برابر صفر است اگر که این چرخه، یک فرایند برگشت‌پذیر باشد. در غیر این صورت این مقدار کمتر از صفر است. حالت برگشت پذیر برای توصیف کمیت آنتروپی استفاده می‌شود که در واقع تابع حالت است.

اثبات[ویرایش]

دمایی که در مخرج انتگرال نابرابر کلازیوس وارد می‌شود، همان دمای منبع خارجی است که با سامانه گرما جابجا می‌کند، در هرلحظه از فرآیند، سامانه با منبع گرمایی خارجی در تماس است.

به خاطر قانون دوم ترمودینامیک، در طی جابجایی بی نهایت کوچک گرما در فرآیند، بین سامانه و منبع گرمایی، تغییر آنتروپی کیهان به شرح زیر است. (در نظر بگیرید که اگر مسیر برگشت پذیر می‌بود، تغییر آنتروپی کیهان صفر بود. زیرا فرآیند را برگشت پذیر در نظر گرفته بودیم.) در این مورد فرآیند مورد بررسی برگشت ناپذیر است و جهان شمول تر است.

هنگامی که سامانه مقدار گرمای بی‌نهابت کوچکی در بردارد برای آنکه تغییر خالص آنتروپی مثبت باشد، لازم است دمای منبع خارجی گرم بیشتر از دمای سامانه مورد مطالعه باشد. اگر دمای سیستم با داده شده باشد. پس داریم: و ، نتیجاً داریم:

. .

گزاره پیشین به این معنا است که آنتروپی منبع گرمایی در پی از دست دادن گرمای کمتر از آنتروپی سامانه است، این از دو جهت نیاز توضیح دارد. ابتدا این که گرمای مبادله شده برای سامانه و منبع گرمایی به اندازه یکسان است اما علامت آن فرق دارد. برای منبع منفی و برای سامانه مثیت است. اما از طرفی طبق قرار داد، اندازه دمای منبع گرم بیشتر از سامانه است(دمای هر دو می بایست در درجه بندی کلوین باشد). در این وضعیت تغییر آنتروپی برای منبع گرمایی منفی و برای سامانه مثبت است.

به طور مشابه، در یک فاصله بی نهایت کوچک که سامانه در دمای است، گرمای را به یک منبع سردتر با دمای می دهد() و دوباره با توجه به قانون دوم ترمودینامیک، ما می توانیم دقیقاً همانند بار پیش بنویسیم:

. .

مقدار گرمای گسیلی از سامانه با مشخص شده است و حاکی از آن است که گرما از سامانه به منبع منتقل شده است پس، . اندازه آنتروپی به شرح مقابل است. که بزرگتر از آنتروپی سامانه است.

وقتی تغییر آنتروپی در یک سامانه طی یک فرآیند چرخه ای صفر است، و اگر ما هم تمام آن مراحل بی نهایت کوچکی که در آن گرما منتقل می‌‌شود را با هم جمع کنیم و دمای منبع را هم در نظر بگیریم، با توجه به دو معادله قبل خواهیم داشت:

در نهایت شاهد آن هستیم که قضیه کلازیوس اثبات شد.

منابع[ویرایش]

Mehran Kardar ,Statistical physics of particles, cambridge university press , 2007

  • مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «قضیه کلازیوس»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۱۷ مارس ۲۰۱۲).