قانون متوازی الاضلاع

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
یک متوازی‌الأضلاع. اضلاع به رنگ آبی و قطر ها به رنگ قرمز نمایش داده شده اند.

در ریاضیات، ساده ترین حالت از قانون متوازی‌الأضلاع (که به آن اتحاد متوازی‌الأضلاع نیز گفته می شود) متعلق به هندسه مسطحه مقدماتیست. این قانون بیان می دارد که جمع مربع چهار ضلع متوازی‌الأضلاع برابر جمع مربع اضلاع دو قطر آن است. ما اضلاع را با این نماد گذاری نمایش می دهیم: . اما از آنجا که در ، اضلاع مقابل هم در یک متوازی‌الأضلاع لزوماً با هم برابر اند، یعنی و ، این قانون را می توان به صورت زیر بیان نمود:

اگر متواضی الاضلاع تبدیل به یک مستطیل گردد (چرا که مستطیل حالت خاصی از متوازی‌الأضلاع است)، طول دو قطر آن با هم برابر شده ، لذا در این حالت خواهیم داشت:

که همان قضیه فیثاغورث است. برای چهار ضلعی های کلی تر که در آن ها اضلاع مقابل هم لزوماً موازی نیستند داریم:

که در آن طول پاره خط متصل کننده ی میانه های قطرهاست. می توان از شکل مشاهده کرد برای حالت متوازی‌الأضلاع، بوده و اتحاد فوق در این حالت به همان قانون متوازی‌الأضلاع که ذکر آن رفت تبدیل می شود.

اثبات[ویرایش]

Color parallelogram.svg

در متوازی‌الأضلاع سمت چپ، داریم: . با استفاده از قانون کسینوس ها در مثلث ، بدست می آوریم:

در متوازی‌الأضلاع، زاویه های مجاور مکمل اند، لذا داریم . با استفاده از قانون کسینوس ها در مثلث بدست می آوریم:

با اعمال اتحاد مثلثاتی به سمت چپ عبارت بالا، به معادله ی زیر می رسیم:

اکنون جمع مربعات برابر خواهد بود با:

که بعد از ساده سازی به عبارت زیر می رسیم:

منابع[ویرایش]