فهرست اتحادهای لگاریتمی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

اتحادهای لگاریتمی زیادی را می‌توان در ریاضیات پیدا کرد.

قوانین جبری[ویرایش]

کاربرد عملگرهای ساده‌ساز[ویرایش]

گاهی از لگاریتم برای ساده کردن شمارش‌های ریاضی استفاده می‌شود. مانند لگاریتم حاصل ضرب که برابر است با مجموع لگاریتم دو عدد:

 \log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y) \!\, زیرا:  b^c \cdot b^d = b^{c + d} \!\,
 \log_b\!\left(\begin{matrix}\frac{x}{y}\end{matrix}\right) = \log_b(x) - \log_b(y) زیرا:  b^{c-d} = \tfrac{b^c}{b^d}
 \log_b(x^d) = d \log_b(x) \!\, زیرا:  (b^c)^d = b^{cd} \!\,
 \log_b\!\left(\!\sqrt[y]{x}\right) = \begin{matrix}\frac{\log_b(x)}{y}\end{matrix} زیرا:  \sqrt[y]{x} = x^{1/y}
 x^{\log_b(y)} = y^{\log_b(x)} \!\, زیرا:  x^{\log_b(y)} = b^{\log_b(x) \log_b(y)} = b^{\log_b(y) \log_b(x)} = y^{\log_b(x)} \!\,
 c\log_b(x)+d\log_b(y) = \log_b(x^c y^d) \!\, زیرا:  \log_b(x^c y^d) = \log_b(x^c) + \log_b(y^d) \!\,

که در آن b و x و y اعداد حقیقی بزرگتر از صفر اند و b \ne 1 است. همچنین c و d همگی اعداد حقیقی اند.

اثبات قانون نخست

xy = b^{\log_b(x)} b^{\log_b(y)} = b^{\log_b(x) + \log_b(y)} \Rightarrow \log_b(xy) = \log_b(b^{\log_b(x) + \log_b(y)}) = \log_b(x) + \log_b(y)

قانون مربوط به توان‌ها:

x^y = (b^{\log_b(x)})^y = b^{y \log_b(x)} \Rightarrow \log_b(x^y) = y \log_b(x)

قانون نسبت‌ها:

\log_b \bigg(\frac{x}{y}\bigg) = \log_b(x y^{-1}) = \log_b(x) + \log_b(y^{-1}) = \log_b(x) - \log_b(y)

قانون ریشه‌ها مانند قانون توان‌ها اثبات می‌شود:

\log_b(\sqrt[y]x) = \log_b(x^{\frac{1}{y}}) = \frac{1}{y}\log_b(x)

اتحادهای بدیهی[ویرایش]

 \log_b(1) = 0 \!\, زیرا:  b^0 = 1\!\,
 \log_b(b) = 1 \!\, زیرا:  b^1 = b\!\,

هشدار:  \log_b(0) \!\, تعریف نشده‌است چون هیچ عدد  x \!\, را نمی‌توان پیدا کرد که  b^x = 0 \!\, شود. به عبارت دیگر در نمودار  \log_b(x) \!\, در نقطهٔ ۰ = x یک مجانب قائم داریم.

توان‌های خنثی کننده[ویرایش]

تابع‌های لگاریتمی و نمایی در صورتی که هر دو در یک پایه باشند می‌توانند یکدیگر را خنثی کنند. این به این دلیل است که دو تابع وارون یکدیگرند. (درست مانند ضرب و تقسیم یا جمع و تفریق که عملگرهای وارون اند.)

 b^{\log_b(x)} = x\text{ because }\operatorname{antilog}_b(\log_b(x)) = x \,
 \log_b(b^x) = x\text{ because }\log_b(\operatorname{antilog}_b(x)) = x \,

تغییر پایه[ویرایش]

بسیاری از ماشین حساب‌ها تنها می‌توانند لگاریتم طبیعی و اعشاری را حساب کنند برای همین اگر بخواهیم لگاریتم در دیگر پایه‌ها را بدست آوریم باید از اتحاد زیر استفاده کنیم:

\log_b a = {\log_d a \over \log_d b}

اثبات[ویرایش]

فرض کنید که c=\log_b a آنگاه b^c=a حال از دو سوی تساوی در پایهٔ d لگاریتم می‌گیریم:

\log_d b^c=\log_d a

پس از ساده‌سازی خواهیم داشت:  c\log_d b=\log_d a

آنگاه c=\frac{\log_d a}{\log_d b}

از آنجایی که c=\log_b a خواهیم داشت: \log_b a=\frac{\log_d a}{\log_d b}

نتایج[ویرایش]

نتایح بدست آمده از اتحاد بالا عبارتند از:

 \log_b a = \frac {1} {\log_a b}
 \log_{b^n} a =  {{\log_b a} \over n}
 b^{\log_a d} = d^{\log_a b}
- \log_b a = \log_b \left({1 \over a}\right) = \log_{1 \over b} a
 \log_{b_1}a_1 \,\cdots\, \log_{b_n}a_n
= \log_{b_{\pi(1)}}a_1\, \cdots\, \log_{b_{\pi(n)}}a_n, \,

که در آن \scriptstyle\pi\, جایگشت زیرنویس 1 تا n است مانند:

 \log_b w\cdot \log_a x\cdot \log_d c\cdot \log_d z 
= \log_d w\cdot \log_b x\cdot \log_a c\cdot \log_d z. \,

جمع و تفریق[ویرایش]

جمع و تفریق در لگاریتم‌ها در نظریه‌های احتمالاتی کاربرد دارند:

\log_b (a+c) = \log_b a + \log_b (1+b^{\log_b c - \log_b a})
\log_b (a-c) = \log_b a + \log_b (1-b^{\log_b c - \log_b a})

که در حالت ویژه می‌دهد:

\log_b (a+c) = \log_b a + \log_b \left(1+\frac{c}{a}\right)
\log_b (a-c) = \log_b a + \log_b \left(1-\frac{c}{a}\right)

منابع[ویرایش]

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «List of logarithmic identities»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۳۱ اوت ۲۰۱۱).