فهرست اتحادهای لگاریتمی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

اتحادهای لگاریتمی زیادی را می‌توان در ریاضیات پیدا کرد.

قوانین جبری[ویرایش]

کاربرد عملگرهای ساده‌ساز[ویرایش]

گاهی از لگاریتم برای ساده کردن شمارش‌های ریاضی استفاده می‌شود. مانند لگاریتم حاصل ضرب که برابر است با مجموع لگاریتم دو عدد:

زیرا:
زیرا:
زیرا:
زیرا:
زیرا:
زیرا:

که در آن و و اعداد حقیقی بزرگتر از صفر اند و است. همچنین و همگی اعداد حقیقی اند.

اثبات قانون نخست

قانون مربوط به توان‌ها:

قانون نسبت‌ها:

قانون ریشه‌ها مانند قانون توان‌ها اثبات می‌شود:

اتحادهای بدیهی[ویرایش]

زیرا:
زیرا:

هشدار: تعریف نشده‌است چون هیچ عدد را نمی‌توان پیدا کرد که شود. به عبارت دیگر در نمودار در نقطهٔ ۰ = x یک مجانب قائم داریم.

توان‌های خنثی کننده[ویرایش]

تابع‌های لگاریتمی و نمایی در صورتی که هر دو در یک پایه باشند می‌توانند یکدیگر را خنثی کنند. این به این دلیل است که دو تابع وارون یکدیگرند. (درست مانند ضرب و تقسیم یا جمع و تفریق که عملگرهای وارون اند.)

تغییر پایه[ویرایش]

بسیاری از ماشین حساب‌ها تنها می‌توانند لگاریتم طبیعی و اعشاری را حساب کنند برای همین اگر بخواهیم لگاریتم در دیگر پایه‌ها را بدست آوریم باید از اتحاد زیر استفاده کنیم:

اثبات[ویرایش]

فرض کنید که آنگاه حال از دو سوی تساوی در پایهٔ d لگاریتم می‌گیریم:

پس از ساده‌سازی خواهیم داشت:

آنگاه

از آنجایی که خواهیم داشت:

نتایج[ویرایش]

نتایح بدست آمده از اتحاد بالا عبارتند از:

که در آن جایگشت زیرنویس 1 تا n است مانند:

جمع و تفریق[ویرایش]

جمع و تفریق در لگاریتم‌ها در نظریه‌های احتمالاتی کاربرد دارند:

که در حالت ویژه می‌دهد:

منابع[ویرایش]

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «List of logarithmic identities»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۳۱ اوت ۲۰۱۱).