عدد چرخش

در ریاضیات، عدد چرخش ناوردایی از همومورفیسم‌های دایره است.

پیشینه

اولین بار توسط آنری پوانکاره درسال ۱۸۸۵ در رابطه با تقدم حضیض یک مدار سیاره‌ای تعریف شد. پوانکاره بعداً قضیه‌ای را اثبات کرد که وجود مدارهای متناوب را از نظر گویابودنِ عدد چرخش مشخص می‌کند.

تعریف

فرض کنید که f: S¹ → S¹ یک همومورفیسم جهت-نگهدار دایره S¹ = R/Z است. سپس f را می‌توان به یک همومورفیسم F: R → R از خط حقیقی لیفت شود که ارضا می‌کند

$$F(x+m)=F(x)+m$$

برای هر عدد حقیقی x و هر عدد صحیح m.

عدد چرخش f برحسب تکرارهای F تعریف می‌شود:

$$\omega (f)=\lim _{n\to \infty }{\frac {F^{n}(x)-x}{n}}.$$

هانری پوانکاره ثابت کرد که این حد وجود دارد و مستقل از انتخاب نقطه شروع x است. بالابر F اعداد صحیح مدول منحصر به فرد است، بنابراین عدد چرخش یک عنصر کاملاً تعریف شده از R/Z است. به‌طور شهودی، میانگین زاویه چرخش در امتداد مدارهای f را اندازه‌گیری می‌کند.

مثال

اگر f چرخشی با $2\pi \theta$ باشد (که ${\textstyle 0\leqslant \theta <1}$) باشد، پس

$$F(x)=x+\theta ,$$

سپس عدد چرخش آن θ است (ر.ک. چرخش ناگویا).

جستارهای وابسته

• نگاشت دایره‌ای
• وابرریختی دانژوا
• بخش پوانکاره
• بازگشتی پوانکاره
• قضیه پوانکاره-بندیکسون

منابع

• Herman, Michael Robert (December 1979). "Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations" [On the Differentiable Conjugation of Diffeomorphisms from the Circle to Rotations]. Publications Mathématiques de l'IHÉS (به فرانسوی). 49: 5–233. doi:10.1007/BF02684798., also SciSpace for smaller file size in pdf ver 1.3
• Sebastian van Strien, Rotation Numbers and Poincaré's Theorem (2001)

پیوند به بیرون

• الگو:Scholarpedia
• Weisstein, Eric W. "Map Winding Number". From MathWorld--A Wolfram Web Resource

.