سه‌تایی فیثاغورثی

انیمیشنی که نشانگر نحوه ساخت ساده ترین سه تایی فیثاغورثی $3^{2}+4^{2}=5^{2}$ است.

یک سه تایی فیثاغورثی شامل سه عدد صحیح مثبت $a,b$ و $c$ است چنان که $a^{2}+b^{2}=c^{2}$. چنین سه تایی را اغلب به صورت $(a,b,c)$ می نویسند. مثال معروفی از آن $(3,4,5)$ است. اگر $(a,b,c)$ یک سه تایی فیثاغورثی باشد، آنگاه $(ka,kb,kc)$ نیز برای هر عدد صحیح مثبت $k$ مجدداً یک سه تایی فیثاغورسی است. یک سه تایی فیثاغورثی اولیه سه تایی است که در آن $a,b$ و $c$ متباین باشند (یعنی، هیچ مقسوم علیه مشترکی بزرگتر از ۱ نداشته باشند). مثلثی که اضلاع آن تشکیل سه تایی فیثاغورسی دهند را مثلث فیثاغورسی نامند که لزوماً قائم الزاویه خواهد بود.

این نام (سه تایی فیثاغورسی) نشأت گرفته از قضیه فیثاغورس است که بیان می دارد، طول اضلاع هر مثلث قائم الزاویه ای در فرمول $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ صدق می کند؛ لذا، سه تایی های فیثاغورسی توصیف گر سه ضلع صحیح یک مثلث قائم الزاویه می باشد. با این حال، مثلث های قائم الزاویه ای که اضلاع صحیح ندارند تشکیل سه تایی فیثاغورثی نمی دهند. به عنوان مثال، مثلثی که اضلاعش به صورت $a=b=1$ و $c={\sqrt {2}}$ است یک مثلث قائم الزاویه است، اما $(1,1,{\sqrt {2}})$ تشکیل یک سه تایی فیثاغورثی نمی دهد چرا که ${\sqrt {2}}$ عدد صحیح نیست.

سه تایی های فیثاغورسی از زمان های باستان شناخته شده بودند. قدیمی ترین سند ثبت شده آن مربوط به پلیمپتون ۳۲۲ است، که یک لوح بابلی از زمان ۱۸۰۰ قبل از میلاد است که در دستگاه اعداد شصت تایی نوشته شده است. این لوح توسط ادگار جیمز بنکس، کمی بعد از ۱۹۰۰ میلادی کشف شد و به جورج آرتور پلیمپتون در ۱۹۲۲ به قیمت ۱۰ دلار فروخته شده.

زمانی که به دنبال جواب های صحیح معادله $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ هستیم، به معادله اخیر معادله سیاله ای می گوییم. لذا سه تایی های فیثاغورثی یکی از قدیمی ترین حل های غیر خطی معادلات سیاله‌ای (یا معادلات دیوفانتاین، یا معادله دیوفانتینی) هستند.

فهرست اعداد

۱۶ سه تایی فیثاغورثی اولیه (یعنی سه تایی هایی که نسبت به هم متباین باشند) کوچکتر از ۱۰۰ وجود دارند:

(3, 4, 5)	(6 ,8 , 10)	(5, 12, 13)	(8, 15, 17)	(7, 24, 25)
(20, 21, 29)	(12, 35, 37)	(9, 40, 41)	(28, 45, 53)
(11, 60, 61)	(12 ,16 , 20)	(16, 63, 65)	(33, 56, 65)	(48, 55, 73)
(13, 84, 85)	(36, 77, 85)	(39, 80, 89)	(65, 72, 97)

روش به دست آوردن

محاسبه ذهنی

به دست آوردن نمونه‌ای از اعداد فیثاغورسیِ کوچک به صورت ذهنی می‌تواند بسیار آسان باشد؛ به‌گونه‌ای که تمام مضارب اعداد ۳٬۴٬۵ جزء اعداد فیثاغورسی‌اند. به عنوان نمونه $2(3),2(4),2(5)$ که ۱۰و۸و۶ هستند. این موضوع با تمام مضارب دیگر نیز برقرار خواهد بود.

میتوان از تساوی های جبری نیز برای به‌دست آوردن اعداد فیثاغورس استفاده کرد. برای مثال برای n که عددی طبیعی و بزرگتر از یک است داریم تمام اعداد به شکل $2n-1,2n^{2}-2n,2n^{2}-2n+1$ اعداد فیثاغورسی‌اند.(از این فرمول میتوان نتیجه گرفت تمام اعداد فرد بزرگتر از یک میتوانند در سه تایی فیثاغورسی شرکت کنند و کوچکترین عضو باشند)

همچنین اگر x و y دو عدد نسبت به هم اول باشند و x بزرگتر از y باشد اعداد $(x^{2}+y^{2}),(2xy),(x^{2}-y^{2})$ نیز اعداد فیثاغورسی‌اند.

در برنامه‌نویسی رایانه‌ای

خروجی برنامهٔ یافتن اعداد فیثاغورثی با S=۱۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰

برای به دست آوردن اعداد فیثاغورسی می‌توان از کدی شبیه به کد زیر استفاده کرد:

for(int i=1;i<max;i++)
    for(int j=i;j<max;j++)
        for(int k=j;k<max;k++)
            if(((i*i) + (j*j)) == (k*k) )
                cout<<i*i<<" + "<<j*j<<" = "<<k*k;

که البته کدی بهینه نشده‌است و در صورتی که محدودیت max عددی بزرگ باشد بسیار کند خواهد بود.

در صورت استفاده از کدهای بهینه شده، نتیجهٔ برنامه بسیار سریع‌تر خواهد بود و برای محدودیت کوچکتر از ۱۰^۱۰ در کسری از ثانیه به جواب خواهد رسید. محدودیت‌های دیگری که برای این کد می‌توان در نظر گرفت این است که مجموع اعدادی که به توان می‌رسند برابر با محدودیت کلی باشد. برای مثال تنها سه عدد فیثاغورثی ۲۰۰، ۳۷۵ و ۴۲۵ وجود دارند که مجموع آن‌ها دقیقاً ۱۰۰۰ است.

نمونه‌ای از کد به زبان سی‌پلاس‌پلاس که به صورت بهینه ( و نه کاملاً بهینه) با استفاده از بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک چنین اعدادی را می‌یابد:

// تابع findPythTriplet

vector<long long int> findPythTriplet(long long int until)
{
    long long int s=until,s2=s/2,m,sm,k,d,n,a,b,c;
    long long int mLimit=(long long int)sqrt((double)s2);
    vector<long long int> results;
    for(m=2;m<=mLimit;m++)
    {
        if(s2%m==0)
        {
            sm=s2/m;
            while(sm%2==0)
            {
                sm = sm/2;
            }
            if(m%2==1)
            {
                k=m+2;
            }
            else
            {
                k=m+1;
            }
            while (k<(2*m) && k<=sm)
            {
                if(sm%k==0 && gcd(k,m)==1)
                {
                    d=s2/(k*m);
                    n=k-m;
                    a=d*(m*m-n*n);
                    b=2*d*m*n;
                    c=d*(m*m+n*n);
                    results.push_back(a);
                    results.push_back(b);
                    results.push_back(c);
                }
                k+=2;
            }
        }
    }
    return results;
}

جستارهای وابسته

• قضیه فیثاغورس
• قضیه آخر فرما

منابع

• Alperin, Roger C. (2005), "The modular tree of Pythagoras" (PDF), American Mathematical Monthly, 112 (9): 807–816, CiteSeerX 10.1.1.112.3085, doi:10.2307/30037602, JSTOR 30037602, MR 2179860
• Berggren, B. (1934), "Pytagoreiska trianglar", Tidskrift för Elementär Matematik, Fysik och Kemi (به سوئدی), 17: 129–139
• Barning, F.J.M. (1963), "Over pythagorese en bijna-pythagorese driehoeken en een generatieproces met behulp van unimodulaire matrices" (PDF), Math. Centrum Amsterdam Afd. Zuivere Wisk. (به هلندی), ZW-011: 37
• Eckert, Ernest (1992), "Primitive Pythagorean triples", The College Mathematics Journal, 23 (5): 413–417, doi:10.2307/2686417, JSTOR 2686417
• Elkies, Noam, Pythagorean triples and Hilbert's theorem 90 (PDF)
• Heath, Thomas (1956), The Thirteen Books of Euclid's Elements Vol. 1 (Books I and II) (2nd ed.), Dover Publications, ISBN 978-0-486-60088-8
• Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (2nd ed.), Lexington: D. C. Heath and Company, LCCN 77171950
• Martin, Artemas (1875), "Rational right angled triangles nearly isosceles", The Analyst, 3 (2): 47–50, doi:10.2307/2635906, JSTOR 2635906
• McCullough, Darryl (2005), "Height and excess of Pythagorean triples" (PDF), Mathematics Magazine, 78 (1)
• Romik, Dan (2008), "The dynamics of Pythagorean triples" (PDF), Trans. Amer. Math. Soc., 360 (11): 6045–6064, arXiv:math.DS/0406512, doi:10.1090/S0002-9947-08-04467-X, MR 2425702
• Teigen, M.G.; Hadwin, D.W. (1971), "On Generating Pythagorean Triples", The American Mathematical Monthly, 78 (4): 378–379, doi:10.2307/2316903, JSTOR 2316903
• Trautman, Andrzej (1998), "Pythagorean spinors and Penrose twistors" (Postscript), Geometric universe {{citation}}: Unknown parameter |editors= ignored (|editor= suggested) (help)

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Pythagorean Triple». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۱ اوت ۲۰۱۹.