توسیع الکساندرف
این مقاله نیازمند تمیزکاری است. لطفاً تا جای امکان آنرا از نظر املا، انشا، چیدمان و درستی بهتر کنید، سپس این برچسب را بردارید. محتویات این مقاله ممکن است غیر قابل اعتماد و نادرست یا جانبدارانه باشد یا قوانین حقوق پدیدآورندگان را نقض کرده باشد. |
این نویسههای ریاضی غیراستاندارد و منبعدهی نادرست نیازمند ویکیسازی است. لطفاً با توجه به راهنمای ویرایش و شیوهنامه، محتوای آن را بهبود بخشید. |
توسیع الکساندرف در توپولوژی، روشی است برای توسیع یک فضای توپولوژیک نافشرده به فضایی فشرده.
نمادگذاری[ویرایش]
خانواده همهٔ زیرمجموعههای پایینی مجموعه مرتب جزئی P را با نماد (D(P نشان میدهیم که با رابطه مشمول مجموعهای مرتب جزئی است. به همین ترتیب خانواده همه زیرمجموعههای بالایی را با نماد (U(P نشان میدهیم.
رده تمام فضاهای شبه گسسته و نگاشتهای پیوسته (توپولوژیکی) بین آنها رسته تشکیل میدهد و آن را با نماد qdTop نمایش میدهیم.
مفاهیم[ویرایش]
تعریف[ویرایش]
فرض کنیم P مجموعهای نا تهی است. یک ترکیب یا ترتیب جزئی روی P رابطهای دوتایی چون ≥ است بهطوری که هر سه عضو از P مثل x,y،z دارای سه خاصیت:
بازتابی:(x≤x)
و پاد تقارنی: اگر x≤y و y≤x باید: x=y.
و تعدی: اگر x≤y , y≤z باید: x≤z.
مجموعه P را همراه با رابطهٔ ترتیب جزئی ≥ را مجموعه مرتب جزئی یا مجموعه مرتب گوییم و با نماد (≥,P) یا اگر امکان اشتباه نباشد با P نشان میدهیم. برای هر زیرمجموعه Q از P و هر عضو xϵP تعریف میکنیم:
{Q:={yϵP: (ƎxϵQ) y≤x↓ ,{Q:={yϵP: (ƎxϵQ) x≤y↑ ,{x:={yϵP: y≤x↓ ,{x:={yϵP: x≤y↑
تعریف[ویرایش]
یک مشبکه عبارت است از مجموعه مرتب جزئی A بهطوریکه هر زیرمجموعه دو عضوی {a,b} از آن دارای کوچکترین کران بالا و بزرگترین کران پایین باشد که به ترتیب آنها را با aᴠb و aᴧb نشان میدهیم و می گوییم (A,ᴠ،ᴧ) یک مشبکه است.
تعریف[ویرایش]
هرگاه(L,ᴠ،ᴧ)یک مشبکه باشد بهطوریکه هر زیرمجموعه دلخواه (نه لزوماً دو عضوی یا نامتناهی) L دارای کوچکترین کران بالا یا بزرگترین کران پایین باشد آنگاه می گوییم مشبکه L کامل است.
قضیه[ویرایش]
هر فضای توپولوژیک (x,T) در اصل T0 صدق میکند اگرو تنها اگر نگاشت:(ξ0: X→ΣO(x که برای هر xϵX و (UϵO(x با تعریف:
ξ0(U)=1↔xϵX
یک به یک باشد.
تعریف[ویرایش]
مشبکه کامل و کراندار L را فریم میگوییم هرگاه قانون توزیعپذیری زیر در L برقرار باشد برای هر عضو aϵL و برای هر S زیر مجموعه L داشته باشیم:
aᴧᴠS=ᴠ(aᴧS).1 اگر این شرایط را با aᴠᴧS=ᴧ(aᴠS).1 جایگزین کنیم در این صورت مشبکه کامل و کراندار L را هم فریم می گوییم.
مثال[ویرایش]
برای هر فضای توپولوژیک X, مشبکه (O(x یک فریم است.
تعریف[ویرایش]
اگر (≥,A) یک مجموعه مرتب جزئی باشد آنگاه A را میتوان به عنوان یک رسته در نظر گرفت که در آن اشیا مجموعه A و برای a,bϵA اگر a≤b ریخت از a به b را مجموعه تک نقطهای و در غیر این صورت مجموعه تهی در نظر میگیریم.
تعریف[ویرایش]
فرض میکنیم (≥,P) مجموعهای مرتب جزئی و Q زیرمجموعه P است.
- Q را مجموعه پایینی می گوییم اگر برای هر xϵQ و yϵP که y≤x و yϵQ
- Q را مجموعه بالایی می گوییم اگر برای هر xϵQ و yϵP که x≤y و yϵQ
لم[ویرایش]
فرض کنید (≥,P)مجموعه مرتب جزئی است در این صورت متمم هر مجموعه بالایی یک مجموعه پایینی است.
قضیه[ویرایش]
فرض کنیم (≥,X) مجموعه مرتب جزئی است. در این صورت (D(X یک توپولوژی روی X است.
تعریف[ویرایش]
فرض کنیم (X,T)فضای توپولوژیک است بهطوریکه اشتراک هر خانواده از مجموعههای باز آن، باز است. در این صورت به (X,T) فضای توپولوژیک الکساندروف می گوییم. به عبارت دیگر این فضا دارای پایدی یکتای مینیمال است یعنی برای هر xϵX همسایگی(V(x موجود است که (V(x برابر با اشتراک همهٔ مجموعههای باز شامل x است.
قضیه[ویرایش]
فرض کنیم (X,T) فضای توپولوژیک است، در این صورت فضای توپولوژیک ((X,D(X) الکساندروف است و در اصل T0 صدق میکند.
لم[ویرایش]
مجموعههای باز در ((X,D(X) دقیقاً مجموعههای بسته در ((X,U(X) هستند.
توجه میکنیم که به (D(X توپولوژی الکساندروف پایینی و به (U(X توپولوژی الکساندروف بالایی می گوییم.
تعریف[ویرایش]
به فضای توپولوژیک (X,T) که الکساندروف است و در اصل در T0 صدق میکند فضای توپولوژیک شبه گسسته می گوییم.
قضیه[ویرایش]
فرض کنیم (≥,X)مجموعه مرتب جزئی است. در این صورت (D(X به همراه اجتماع و اشتراک مشبکهای کامل است.
قضیه[ویرایش]
فرض کنیم (≥,X) مجموعه مرتب جزئی است در این صورت مشبکه(D(X بهطور کامل در قوانین توزیع پذیری صدق میکند و به خصوص(D(X یک فریم است. بهطور مشابه میتوان نشان داد مشبکه کامل(D(X هم یک فریم است.
منابع[ویرایش]
- Alexandroff,P.Diskrete (1937). Math.sb.2.
- Aull,C.E,Thron,W.J (1963). Seperation axiom between T0 and T1 .
{{cite book}}
: External link in
(help)نگهداری یادکرد:نامهای متعدد:فهرست نویسندگان (link)|title=
- Raney,G.N (1952). Compeletely distributire compelete lattices>.
- Raney,G.N (1953). A subdirect-union representation for compeletely distributire compelete lattices>.
- Blyth,T.S (1986). Abstract and Concrete Categories>.