تابع چندضابطه‌ای

در ریاضیات، تابع چندضابطه‌ای یا تابع تکه‌ای (به انگلیسی: piecewise function)به تابعی گفته می‌شود که تعریف‌اش بسته به مقدار متغیر مستقل (ورودی تابع) متفاوت باشد.

در این تابع، ضابطه‌های متفاوتی وجود دارد. هر ضابطه دامنهٔ (ورودی) مجزایی دارد. یک ضابطه می‌تواند مثلاً یک چندجمله‌ای، یک تابع مثلثاتی، یک تابع نمایی یا هر تابع دیگری باشد.

نمادگذاری

نمودار تابع قدرمطلق ‎ y = |x|‎.

تابع‌های چندضابطه‌ای در نمادگذاری رایج ریاضی، به شکل آرایه‌ای از تابع‌ها و در کنارشان زیردامنهٔ مربوط به آن تابع مشخص می‌شوند. برای نمونه، تابع قدر مطلق را می‌توان به شکل زیر مانند یک تابع چندضابطه‌ای بیان کرد:

$|x|\equiv f(x)={\begin{cases}-x,&{\mbox{if }}x<0\\x,&{\mbox{if }}x\geq 0\end{cases}}$

برای همهٔ مقدارهای x کوچک‌تر از صفر، نخستین تعریف ‎(−x)‎ به کار می‌رود که علامت مقدار ورودی تابع را برعکس می‌کند. برای همهٔ xهای بزرگ‌تر یا برابر با صفر، دومین تابع ‎(x)‎ به کار می‌رود که مقدار ورودی تابع را برمی‌گرداند.

پیوستگی

یک تابع چندضابطه‌ای با دو زیرتابع درجهٔ دوی متفاوت در دو سمت $x_{0}$.

یک تابع چندضابطه‌ای روی بازهٔ دلخواه پیوسته است اگر شرط‌های زیر برقرار باشد:

• تابع در آن بازه تعریف شده باشد.
• هر یک از زیرتابع‌های آن روی آن بازه پیوسته باشند.
• هیچ ناپیوستگی‌ای در نقاط پایانی زیردامنه‌های تابع روی آن بازه وجود نداشته باشد.

برای نمونه، تابع چندضابطه‌ای در شکل روبه‌رو در زیردامنه‌هایش پیوسته است، ولی در کل دامنه‌اش پیوسته نیست زیرا در نقطهٔ‌ $x_{0}$ ناپیوستگی‌ای به شکل جهش دارد.

رسم تابع چندضابطه‌ای

برای رسم تابع چندضابطه‌ای حواسمان باشد حتما در همان بازه که تابع تعریف می‌شود تابع را رسم کنیم.

نکته: نقاط مرزی را مراقب باشید، زیرا ممکن است در ضابطه‌ای تعریف نشوند و در نمودار آن را باید توخالی رسم کنیم.

مثال: تابع چندضابطه‌ای زیر را رسم کنید.

$f(x)={\begin{cases}2x-2&{\mbox{ }}x>2\\5&{\mbox{ }}x=2\\-2x&{\mbox{ }}x<2\\\end{cases}}$

حل:

برای حل این سوال باید اول نقطه یابی کنید. حتما نقطه گذاریتان در بازه مورد نظر باشد. همه نقاط مرزی پس بدهید اگر در بازه مورد نظر نبود آن نقطه توخالی خواهد بود.

$2x-2,x>2\rightarrow (2,2),(3,4),(4,6)$

$-2x,x<2\rightarrow (0,0),(1,-2),(2,-4)$

مثالی برای تابع چند ضابطه ای

در مثال بالا دیدید که نقاط مرزی توخالی کشیده شدن. پس نقاط مرزی را در نمودار لحاظ میکنیم ولی اگر در دامنه تعریف نشده بود آن را تو خالی میگذاریم.

پانوشت

تابع چند ضابطه ای «سیده فاطمه موسوی نطنزی»

همچنین ببینید

نمونه‌هایی از تابع‌های چندضابطه‌ای:

• قدر مطلق
• تابع پله، تابع پله‌ای هویساید
• تابع علامت

منبع

• Weisstein, Eric W. "Piecewise Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.