از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
در ریاضیات ، اتحاد پاسکال یک همانی ترکیبیاتی در مورد ضریب دوجمله‌ای است. بنابر اتحاد پاسکال، به‌ازای هر عدد طبیعی n
(
n
−
1
k
)
+
(
n
−
1
k
−
1
)
=
(
n
k
)
{\displaystyle {n-1 \choose k}+{n-1 \choose k-1}={n \choose k}\quad }
به‌ازای
1
≤
k
≤
n
{\displaystyle 1\leq k\leq n}
که در آن
(
n
k
)
{\displaystyle {n \choose k}}
(
n
k
)
+
(
n
k
−
1
)
=
(
n
+
1
k
)
{\displaystyle {n \choose k}+{n \choose k-1}={n+1 \choose k}\quad }
به‌ازای
1
≤
k
≤
n
+
1
{\displaystyle 1\leq k\leq n+1}
اثبات ترکیبیاتی [ ویرایش ] اثباتی شهودی برای این اتحاد وجود دارد. یادآوری می‌شود که
(
n
k
)
{\displaystyle {n \choose k}}
(
n
−
1
k
−
1
)
{\displaystyle {n-1 \choose k-1}}
(
n
−
1
k
)
{\displaystyle {n-1 \choose k}}
(
n
−
1
k
−
1
)
+
(
n
−
1
k
)
=
(
n
k
)
{\displaystyle {n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}={n \choose k}}
قصد بر این است که ثابت شود:
(
n
k
)
+
(
n
k
−
1
)
=
(
n
+
1
k
)
.
{\displaystyle {n \choose k}+{n \choose k-1}={n+1 \choose k}.}
(
n
k
)
+
(
n
k
−
1
)
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
+
n
!
(
k
−
1
)
!
(
n
−
k
+
1
)
!
=
n
!
[
n
−
k
+
1
k
!
(
n
−
k
+
1
)
!
+
k
k
!
(
n
−
k
+
1
)
!
]
=
n
!
(
n
+
1
)
k
!
(
n
−
k
+
1
)
!
=
(
n
+
1
k
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{n \choose k}+{n \choose k-1}&={\frac {n!}{k!(n-k)!}}+{\frac {n!}{(k-1)!(n-k+1)!}}\\&=n!\left[{\frac {n-k+1}{k!(n-k+1)!}}+{\frac {k}{k!(n-k+1)!}}\right]\\&={\frac {n!(n+1)}{k!(n-k+1)!}}={\binom {n+1}{k}}\end{aligned}}}
اگر
n
,
k
1
,
k
2
,
k
3
,
…
,
k
p
,
p
∈
N
∗
{\displaystyle n,k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p},p\in \mathbb {N} ^{*}}
n
=
k
1
+
k
2
+
k
3
+
⋯
+
k
p
{\displaystyle n=k_{1}+k_{2}+k_{3}+\cdots +k_{p}}
(
n
−
1
k
1
−
1
,
k
2
,
k
3
,
…
,
k
p
)
+
(
n
−
1
k
1
,
k
2
−
1
,
k
3
,
…
,
k
p
)
+
⋯
+
(
n
−
1
k
1
,
k
2
,
k
3
,
…
,
k
p
−
1
)
=
(
n
−
1
)
!
(
k
1
−
1
)
!
k
2
!
k
3
!
⋯
k
p
!
+
(
n
−
1
)
!
k
1
!
(
k
2
−
1
)
!
k
3
!
⋯
k
p
!
+
⋯
+
(
n
−
1
)
!
k
1
!
k
2
!
k
3
!
⋯
(
k
p
−
1
)
!
=
k
1
(
n
−
1
)
!
k
1
!
k
2
!
k
3
!
⋯
k
p
!
+
k
2
(
n
−
1
)
!
k
1
!
k
2
!
k
3
!
⋯
k
p
!
+
⋯
+
k
p
(
n
−
1
)
!
k
1
!
k
2
!
k
3
!
⋯
k
p
!
=
(
k
1
+
k
2
+
⋯
+
k
p
)
(
n
−
1
)
!
k
1
!
k
2
!
k
3
!
⋯
k
p
!
=
n
(
n
−
1
)
!
k
1
!
k
2
!
k
3
!
⋯
k
p
!
=
n
!
k
1
!
k
2
!
k
3
!
⋯
k
p
!
=
(
n
k
1
,
k
2
,
k
3
,
…
,
k
p
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad {n-1 \choose k_{1}-1,k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}}+{n-1 \choose k_{1},k_{2}-1,k_{3},\dots ,k_{p}}+\cdots +{n-1 \choose k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}-1}\\&={\frac {(n-1)!}{(k_{1}-1)!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+{\frac {(n-1)!}{k_{1}!(k_{2}-1)!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+\cdots +{\frac {(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots (k_{p}-1)!}}\\&={\frac {k_{1}(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+{\frac {k_{2}(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+\cdots +{\frac {k_{p}(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}={\frac {(k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{p})(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}\\&={\frac {n(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}={n \choose k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}}.\end{aligned}}}
جستارهای وابسته [ ویرایش ]
![{\displaystyle {\begin{aligned}{n \choose k}+{n \choose k-1}&={\frac {n!}{k!(n-k)!}}+{\frac {n!}{(k-1)!(n-k+1)!}}\\&=n!\left[{\frac {n-k+1}{k!(n-k+1)!}}+{\frac {k}{k!(n-k+1)!}}\right]\\&={\frac {n!(n+1)}{k!(n-k+1)!}}={\binom {n+1}{k}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cee6f328d957ef3016686da596a08b802e657f9)
