همانی (ریاضیات)

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
اثبات بصری همانی فیثاغورس. برای هر زاویه θ، نقطه‏cos(θ),sin(θ))‎) به روی دایره واحد ای میفتد که معادله x۲+y۲=۱ را ارضاء می‌کند؛ بنابراین cos۲(θ)+sin۲(θ)=۱.

در ریاضیات یک همانی است، یک رابطه برابری A = B است که A و B شامل تعدادی متغیر هستند و A و فارغ از اینکه متغیرهایشان چه مقادیری (معمولاً عددی) می‌گیرند، مقادیر یکسانی را تولید می‌کنند. به عبارت دیگر A = B همانی است اگر A و B توابع یکسانی را تعریف کنند. این به این معنی است که یک همانی، یک برابری بین توابعیست که متفاوت تعریف شده‌اند. برای مثال ‎ (a + b)۲ = a۲ + ۲ab + b۲ ‏ و cos۲(x) + sin۲(x) = ۱ همانی اند. همانی‌ها، گاهی اوقات، بجای علامت مساوی = توسط نماد نوار سه‌گانه ≡ نشان داده می‌شوند.[۱]

همانی‌های رایج[ویرایش]

همانی‌های مثلثاتی[ویرایش]

به لحاظ هندسی، این‌ها، همانی‌هایی شامل توابعی خاصی از یک یا چند زاویه هستند. آنها متمایز از همانی‌های مثلث اند که همانی‌هایی شامل هم زاویه و هم ضلع یک مثلث می‌باشند. تنها مورد پیشین در این مقاله پوشش داده شده است.

این همانی‌ها هنگامی مفید واقع می‌شوند که عبارات شامل توابع مثلثاتی نیازمند ساده‌سازی اند. یک کاربرد مهم، انتگرال گیری از توابع غیر توابع مثلثاتی است: روشی معمول این است که ابتدا ضابطه با یک تابع مثلثاتی جایگزین شده و سپس، انتگرال به دست آمده با یک همانی مثلثاتی جایگزین شود.

یک مثال برای همه مقادیر مختلط (چون اعداد مختلط در دامنه sin و cos هستند) صادق است؛ بر خلاف

که تنهای برای مقادیر مشخصی از همهٔ آنها. برای مثال معادلهٔ اخیر برای درست بوده و برای

همانی‌های توانی[ویرایش]

همانی‌های زیر، برای همه مولفه‌های صحیح برقرار است، مادامی که پایه غیر صفر باشد:

توان نیست ناجابجایی است. این در تضاد با جمع و ضرب است که برای مثال، ۲ + ۳ = ۳ + ۲ = ۵ و ۲ · ۳ = ۳ · ۲ = ۶؛ اما ۲۳ = ۸ در حالی که ۳۲ = ۲.

توان، حتی شرکت پذیر هم نیست. جمع و ضرب هستند. برای مثال (۲ + ۳) + ۴ = ۲ + (۳ + ۴) = ۹ و (۲ · ۳) · ۴ = ۲ · (۳ · ۴) = ۲۴؛ اما ۲۳ به توان ۴، برابر ۸۴ یا ۴٬۰۹۶ است، در حالی که ۲ به توان ۳۴ برابر با ۲۸۱ یا ۲٬۴۱۷٬۸۵۱٬۶۳۹٬۲۲۹٬۲۵۸٬۳۴۹٬۴۱۲٬۳۵۲ است. به طور قراردادی، بدون پرانتز، ترتیب محاسبه از بالا به پایین است و نه از پایین به بالا:

همانی‌های لگاریتمی[ویرایش]

چندین فرمول مهم، که گاهی اوقات به نام همانی لگاریتمی یا قوانین لگاریتم شناخته می‌شوند، لگاریتم‌ها را به یک دیگر مرتبط می‌سازند.[۲]

ضرب، باقیمانده، توان و ریشه[ویرایش]

لگاریتم ضرب چند عدد، برابر است با حاصل جمع لگاریتم اعداد در حالی که ضرب شده‌اند؛ لگاریتم تقسیم دو عدد، برابر با تفاضل لگاریتم‌های آن دو عدد است. لگاریتم از توان p ام یک عدد، برابر با مضرب p ام لگاریتم خود عدد است؛ لگاریتم ریشهٔ p ام، برابر با لگاریتم عدد است که تقسیم بر p شده. تعداد تقسیم شده توسط p. جدول زیر، این همانی‌ها را با مثال فهرست کرده است. هر یک از این همانی‌ها را می‌توان پس از جایگزینی تعاریف لگاریتم‏ x = blogb(x)x = blogb(x) ‎ و/یا ‏ y = blogb(y)y = blogb(y) ‎ در سمت چپ به دست آورد.

قاعده فرمول مثال
ضرب
تقسیم
توان
ریشه

تغییر پایه[ویرایش]

لگاریتم‏ logb(x) ‎ را می‌توان با استفاده از لگاریتم x و b نسبت به یک پایهٔ دلخواهِ و با استفاده از فرمول زیر محاسبه کرد:

ماشین حساب‌های علمی معمول، لگاریتم را بر مبنای ۱۰ و e محاسبه می‌کنند.[۳] لگاریتم با توجه به هر پایه b تعیین می‌شود با استفاده از هر کدام از این دو لگاریتم قبلی فرمول:

اگر عدد x و لگاریتمش ‏logb(x) ‎ بر مبنای عددی نامعلوم مثل bداده شده باشند، پایه به صورت زیر بدست می‌آیند:

همانی‌های تابع هذلولوی[ویرایش]

توابع هذلولوی، همانی‌های بسیاری را ارضاء می‌کنند که همه آنها، در ظاهر مشابه همانی‌های مثلثاتی اند. در واقع قاعدهٔ Osborn, [۴] می‌گوید که هر تساوی مثلثاتی را می‌توان با گسترش کامل آن به فرم توان‌های اصلی از سینوس و کسینوس، به یک تساوی هذلولوی تبدیل کرد، بدین صورت کهٔ sin به sinh، و cos به cosh تبدیل شده و علامت هر عبارت که شامل مضربی از ۲، ۶، ۱۰، ۱۴، … sinhs است، تغییر کند.[۵]

تابع گودرمانی، رابطه‌ای مستقیم بین توابع دوار و توابع هذلولوی که شامل اعداد مختلط نیستند، برقرار می‌سازد.

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  1. Weiner, Joan (2004).
  2. All statements in this section can be found in Shailesh Shirali 2002, section 4, (Douglas Downing 2003, p. 275), or Kate & Bhapkar 2009, p. 1-1, for example.
  3. Bernstein, Stephen; Bernstein, Ruth (1999), Schaum's outline of theory and problems of elements of statistics. I, Descriptive statistics and probability, Schaum's outline series, New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-005023-5  More than one of |ISBN= and |isbn= specified (help)More than one of |ISBN= and |isbn= specified (help)
  4. Osborn, G. (1 January 1902). "109. Mnemonic for Hyperbolic Formulae". The Mathematical Gazette 2 (34): 189–189. JSTOR 3602492. doi:10.2307/3602492. 
  5. Peterson, John Charles (2003). Technical mathematics with calculus (3rd ed.). Cengage Learning. p. 1155. ISBN 0-7668-6189-9. 

پیوند به بیرون[ویرایش]