منحنی پوچ‌ساز

در آنالیز ریاضی، منحنی پوچ‌ساز، که گاهی اوقات هم‌شیب رشد-صفر نامیده می‌شود، در یک دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی مشاهده می‌شود

$x_{1}'=f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})$

$x_{2}'=f_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})$

$\vdots$

$x_{n}'=f_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})$

که $x'$ در اینجا مشتق $x$ نسبت به یک پارامتر دیگر، مانند زمان $t$ . منحنی پوچ‌ساز $j$ام شکل هندسی است که برای آن $x_{j}'=0$ است. نقاط تعادل سیستم در محل تلاقی همه منحنی‌های پوچ‌ساز قرار دارند. در یک سیستم خطی دو-بعدی، منحنی پوچ‌ساز را می‌توان با دو خط روی یک نمودار دو بعدی نشان داد. در یک سیستم کلی دو بعدی منحنی‌های دلخواه هستند.

پیشینه

این تعریف، گرچه با نام «منحنی جهتی» بود، اما در مقاله ای در سال ۱۹۶۷ توسط اندره سیمونی استفاده شد. این مقاله همچنین «بردار جهتی» را چنین تعریف کرده‌است $\mathbf {w} =\mathrm {sign} (P)\mathbf {i} +\mathrm {sign} (Q)\mathbf {j}$، که P و Q معادلات دیفرانسیل dx/dt و dy/dt هستند، و i و j بردارهای واحد جهت x و y هستند.

سیمونی از این تعاریف جدید روش آزمون پایداری جدیدی را توسعه داد و با استفاده از آن معادلات دیفرانسیل را مطالعه کرد. این روش فراتر از بررسی‌های پایداری معمول، نتایج نیمه-کمی را ارائه می‌دهد.

یادداشت

• E. Simonyi – M. Kaszás: Method for the Dynamic Analysis of Nonlinear Systems, Periodica Polytechnica Chemical Engineering – Chemisches Ingenieurwesen, Polytechnical University Budapest, 1969

پیوند به بیرون

• منحنی پوچ‌ساز at PlanetMath.
• ریاضیات SOS: تحلیل کیفی