مسئله فروشنده دوره‌گرد

اگر فروشنده دوره‌گرد از نقطه A شروع کند و فواصل بین نقاط مشخص باشد، کوتاه‌تربن مسیر که از تمام نقاط یکبار بازدید می‌کند و به A بازمی‌گردد کدام است؟

مسئله فروشنده دوره‌گرد (به انگلیسی: Travelling salesman problem، به‌اختصار: TSP)‏ مسئله‌ای مشهور است که ابتدا در سده ۱۸ مسائل مربوط به آن توسط ویلیام همیلتون و توماس کرکمن مطرح شد و سپس در دهه ۱۹۳۰ شکل عمومی آن به وسیله ریاضیدانانی مثل کارل منگر از دانشگاه هاروارد و هاسلر ویتنی از دانشگاه پرینستون مورد مطالعه قرار گرفت.

شرح مسئله بدین شکل است:

تعدادی شهر داریم و هزینه رفتن مستقیم از یکی به دیگری را می‌دانیم. مطلوب است کم‌هزینه‌ترین مسیری که از یک شهر شروع شود و از تمامی شهرها دقیقاٌ یکبار عبور کند و به شهر شروع بازگردد.

تعداد کل راه‌حل‌ها برابر است با $\frac{1}{2}(n-1)!$ برای n>۲ که n تعداد شهرها است. در واقع این عدد برابر است با تعداد دورهای همیلتونی در یک گراف کامل با n رأس.

مسئله‌های مرتبط

مسأله فروشنده دوره گرد یا Traveling Salesman Problem (به اختصار TSP)، یکی از مسائل بسیار مهم و پرکاربرد در علوم کامپیوتر و تحقیق در عملیات است.

سه روش کلی برای کد کردن راه حل های مسأله TSP ارائه شده است که در الگوریتم های مختلفی قابل استفاده هستند. راه حل های سه گاه عبارتند از:

الف) نمایش جواب به صورت رشته گسسته جایگشتی که در الگوریتم های زیر قابل استفاده است: الگوریتم های ژنتیک یا Genetic Algorithms (به اختصار GA) شبیه سازی تبرید یا Simulated Annealing (به اختصار SA) جستجوی ممنوعه یا Tabu Search (به اختصار TS) جستجوی همسایگی متغیر یا Variable Neighborhood Search (به اختصار VNS) بهینه سازی کلونی مورچگان یا Ant Colony Optimization (به اختصار ACO) جستجوی هارمونی یا Harmony Search (به اختصار HS) و سایر الگوریتم های بهینه سازی گسسته

ب) نمایش جواب به صورت کلیدهای تصادفی یا Random Key که در الگوریتم های زیر قابل استفاده است: الگوریتم های ژنتیک یا Genetic Algorithms (به اختصار GA) بهینه سازی ازدحام ذرات یا Particle Swarm Optimization (به اختصار PSO) الگوریتم رقابت استعماری یا Imperialist Competitive Algorithm (به اختصار ICA) تکامل تفاضلی یا Differential Evolution (به اختصار DE) بهینه سازی مبتنی بر جغرافیای زیستی یا Bio-geography Based Optimization (به اختصار BBO) استراتژی های تکاملی یا Evolution Strategies (به اختصار ES) برنامه ریزی تکاملی یا Evolutionary Programming (به اختصار EP) و سایر الگوریتم های بهینه سازی پیوسته

پ) نمایش جواب به شکل ماتریس های شبیه فرومون که توسط تمامی الگوریتم های اشاره شده در مورد (ب) قابل استفاده می باشد.

• مسئله معادل در نظریه گراف به این صورت است که یک گراف وزن‌دار کامل داریم که می‌خواهیم کم‌وزن‌ترین دور همیلتونی را پیدا کنیم.
• مسئله تنگراه فروشنده دوره‌گرد (به انگلیسی: Bottleneck traveling salesman problem، به‌اختصار: bottleneck TSP)‏ مسئله‌ای بسیار کاربردی است که در یک گراف وزن‌دار کم‌وزن‌ترین دور همیلتونی را می‌خواهد که شامل سنگین‌ترین یال باشد.
• تعمیم‌یافته مسئله فروشنده دوره‌گرد دارای ایالت‌هایی است که هر کدام حداقل یک شهر دارند و فروشنده باید از هر ایالت دقیقاٌ از یک شهر عبور کند. این مسئله به « مسئله سیاست‌مدار مسافر» نیز شهرت دارد. ===

الگوریتم‌ها

مسئله فروشنده دوره‌گرد جزء مسائل ان‌پی سخت است. راه‌های معمول مقابله با چنین مسائلی عبارتند از:

• طراحی الگوریتم‌هایی برای پیدا کردن جواب‌های دقیق که استفاده از آنها فقط برای مسائل با اندازه کوچک صورت می‌گیرد.
• استفاده از الگوریتم‌های مکاشفه‌ای که جواب‌هایی به‌دست می‌دهد که احتمالاٌ درست هستند.
• پیدا کردن زیرمسئله‌هایی از مسئله یعنی تقسیم مسئله به مسئله‌های کوچکتر تا بشود از الگوریتم‌های مکاشفه‌ای بهتر و دقیق‌تری ارائه کرد.

الگوریتم‌های دقیق

سرراست‌ترین راه حل امتحان کردن تمامی جایگشت‌های ممکن برای پیدا کردن ارزان‌ترین مسیر است که چون تعداد جایگشت‌ها !n است، این راه حل غیرعملی می‌شود. با استفاده از برنامه‌نویسی پویا مسئله می‌تواند با مرتبه زمانی $n^2 2^n$ حل شود. راه‌های دیگر استفاده از الگوریتم‌های انشعاب و تحدید برای ۴۰ تا ۶۰ شهر، استفاده از برنامه‌نویسی خطی برای کوچکتر از ۲۰۰ شهر و استفاده از روش برش-صفحه برای اندازه‌های بزرگ است.

الگوریتم‌های مکاشفه‌ای

الگوریتم‌های تقریبی متنوعی وجود دارند که خیلی سریع جواب‌های درست را با احتمال بالا به‌دست می‌دهند که می‌توان آنها را به صورت زیر دسته‌بندی کرد:

• مکاشفه‌ای سازنده
• بهبود تکراری
  • مبادله دوبه‌دو
  • مکاشفه‌ای k-opt
  • مکاشفه‌ای V-opt
• بهبود تصادفی

پیچیدگی محاسباتی الگوریتم فروشنده دوره گرد

این الگوریتم بطور مستقیم در مرتبه زمانی(!O(n حل می شود اما اگر به روش برنامه نویسی پویا برای حل آن استفاده کنیم مرتبه زمانی آن (O(n^2*2^n خواهد شد که جز مرتبه های نمایی است. باید توجه داشت علی رغم آنکه مرتبه نمایی مذکور زمان بسیار بدی است اما همچنان بسیار بهتر از مرتبه فاکتوریل می باشد . شبه کد الگوریتم فوق بصورت زیر است که در آن تعداد زیر مجموعه های یک مجموعه n عضوی 2 به توان n می باشد

و for اول یک ضریب n را نیز حاصل می شود که به ازای تمام شهرهای غیر مبدا می باشد و حاصل (n*(2^n را پدید می آورد
بنابراین برای جستجوی کمترین مقدار نیاز به یک عملیات خطی از مرتبه n داریم که در زمان فوق نیز ضرب می شود و در نهایت زمان (n^2)*(2^n) را برای این الگوریتم حاصل می کند

C({1},1) = 0

 for (S=2 to n )
        for All Subsets S subset of {1,2,3,...} of size S and containing1          
         C(S,1) = &
                  for All J member of S , J<>1
  C ( S , J ) = min { C ( S - { J } , i ) + D i,J : i member of S , i <> J }
return min j C ( {1 . . . n}, J ) + D J,1

شبه کد مسئله فروشنده دوره گرد

مسئله:یک تور بهینه برای یک گراف وزن دار و جهت دار مشخص نمایید.وزن ها اعدادی غیر منفی هستند

ورودی:یک گراف وزن دار و جهت دار و n تعداد گره های گراف . گراف با یک ارایه دو بعدی w مشخص می شود که سطر ها و ستونهایش از 1 تا n شاخص دهی شده اند و در ان [w[i][j معرف وزن لبه از گره iام به گره jام است.4

خروجی:یک متغیر minlength که مقدار ان طول تور بهینه است و یک ارایه دو بعدی p که یک تور بهینه را از روی ان می توان ساخت . سطر های p از 1 تا n و ستونهای ان با تمامی زیر مجموعه های {v-{v1 شاخص دهی شده اند . [P[i][A شاخص اولین گره بعد از vi بر روی کوتاهترین مسیر از viتاvj است که از تمام گره های A دقیقا یکبار میگذرد.

* Void travel ( int n ,
 *              const number W[][],
 *              index p[][],
 *              number&minlength
* )
* {   
*       Index i, j, k;
*       number D[1..n][subset of V-{vi}];
*       for (i= 2 ; i<=n;i++)
*         D[i][∅} = w[i][1];
*       for(k=1; k<=n-2 ; k++)
*         for (all subsets A     v-{v1} containing k vertices
*            for (i such that j≠1 and vi is not in A){
*                D[i][A] = minimum (W[i][j]+ D[vj][A-{vj}]);
*                 P[i][A]= value of j that gave the minimum 
*      }
*     D[1][v-{vi}]= minimum (W[1][j]+ D[vj][V-{v1}];
*     P[1][V-{v1}]= value of j that gave the minimum ;
*     Minlength = D[1][V-{v1}];
*   }

الگوریتم جستجوی ممنوعه یا Tabu Search و یا به اختصار TS، یکی از قوی ترین الگوریتم ها در زمینه حل مسائل بهینه سازی، به خصوص مسائل بهینه سازی مبتنی بر گراف و مسائل بهینه سازی ترکیباتی (Combinatorial Optimization) است. این الگوریتم در اواخر دهه ۱۹۸۰ و توسط گلووِر (Glover) و همکارانش ارائه گردید. غالبا یکی از مسائلی که برای حل آنها از الگوریتم TS استفاده می شود، مسأله فروشنده دوره گرد یا TSP است. این الگوریتم پاسخ های بسیار مناسبی را برای انواع مسائل گسسته به خصوص مسأله TSP ارائه می کند!

جستارهای وابسته

• مسئله پل‌های کونیگسبرگ
• مسئله پستچی چینی

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Travelling salesman problem»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۲ ژوئیه ۲۰۰۸).

• Schrijver, Alexander. "On the history of combinatorial optimization (till ۱۹۶۰)," Handbook of Discrete Optimization (K. Aardal, G.L. Nemhauser, R. Weismantel, eds.), Elsevier, Amsterdam, ۲۰۰۵, pp. ۱-۶۸. PS, PDF
• S. Arora (۱۹۹۸). "Polynomial Time Approximation Schemes for Euclidean Traveling Salesman and other Geometric Problems". Journal of ACM, ۴۵ (۱۹۹۸), pp. ۷۵۳-۷۸۲.

[منابع برای] مطالعه بیشتر

• P. Berman (۲۰۰۶). Marek Karpinski, "۸/۷-Approximation Algorithm for (۱٬۲)-TSP", Proc. ۱۷th ACM-SIAM SODA (۲۰۰۶), pp. ۶۴۱-۶۴۸.
• David S. Johnson
• Christine L. Valenzuela and Antonia J. Jones

پیوند به بیرون

در ویکی‌انبار پرونده‌هایی دربارهٔ مسئله فروشنده دوره‌گرد موجود است.

• Gerhard Reinelt TSPLIB Databases
• Traveling Salesman Problem at Georgia Institute of Technology
• Solution of the Traveling Salesman Problem using a Kohonen Map
• Kohonen Neural Network applied to the Traveling Salesman Problem (using three dimensions).