مسئله برابری پی و ان‌پی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
Euler diagram for P, NP, ان‌پی کامل, and NP-hard set of problems

رابطه‌ی میانِ کلاس‌های پیچیدگی "P و NP" یکی از پرسش‌های بی‌پاسخ‌مانده در علوم رایانه نظری و از مهمترین پرسش‌ها در این زمینه است.

سؤالِ «آیا P=NP؟» در واقع این پرسش است که «آیا آسانیِ تحقیقِ درستیِ پاسخِ یک پرسش، آسانیِ پاسخ گفتنِِ آن پرسش را به همراه می آورد؟». ( اگر با سرعت چند جمله‌ای بتوان درستی پاسخ را تأئید کرد آیا می‌شود با سرعت چندجمله‌‌ای آن را پاسخ گفت؟)

برای نمونه، مسئله‌ی جمع اعضای زیرمجموعه را در نظر بگیرید. این یک مثال از مسئله‌ای است که تحقیق درستی پاسخِ آن ساده است، اما باور بر این است (اما اثبات نشده است) که محاسبه جواب آن «مشکل» است. فرض کنید یک مجموعه از اعداد صحیح داده شده است، آیا یک زیر مجموعه ناتهی از آن هست که مجموع اعضای آن ۰ شود؟ برای نمونه، آیا مجموعه‌ی {۲-، ۳-، ۱۵، ۱۴، ۷، ۱۰-}، زیرمجموعه‌ای دارد که مجموع اعضای آن صفر باشد؟ پاسخ، مثبت است زیرا زیرمجموعه‌ی {۲-، ۳-، ۱۵، ۱۰-}، چنین است. تحقیقِ این که این زیرمجموعه،پاسخِ درست است یا خیر تنها با انجام سه عمل جمع، شدنی است. با این حال، پیدا کردن این مجموعه در آغاز کار، کمی وقت گیر است. به اطلاعاتی که برای تحقیق پاسخ مثبت به این دست پرسش‌‌ها نیاز است، یک «Certificate» گفته می‌شود. با در اختیار داشتن این اطلاعات درست، تحقیق درست بودن پاسخ در مسئله ما، در زمان چندجمله‌ای امکان پذیر است. بنابر این، این مثال در کلاس NP قرار می گیرد.

پاسخ به پرسش P=NP مشخص خواهد کرد که آیا راه حل مسائلی مانند جمع اعضای زیرمجموعه به سادگی تحقیق درستی پاسخ آن هاست یا خیر. در صورتی که ثابت شود P≠NP، آنگاه می توان نتیجه گرفت که بعضی مسائل وجود دارند که به صورت ذاتی، یافتن پاسخ آنها، "سخت تر" از تحقیق درستی پاسخ است.

مؤسسه ریاضیات Clay، جایزه یک میلیون دلاری برای اولین اثبات درست این مسئله تعیین کرده است.[۱]

مفهوم مسئله[ویرایش]

ارتباط بین کلاس‌های پیچیدگی P و NP در نظریه پیچیدگی محاسباتی -بخشی از نظریه محاسبات که به بررسی منابع مورد نیاز در زمان محاسبه جواب یک مسئله می پردازد- مطالعه می شود. مهمترین منابع یکی زمان (مراحل یا گام‌های مورد نیاز برای دستیابی به جواب) و دیگری فضا (حافظه مورد نیاز برای حل مسئله) است.

در آنالیزهایی شبیه به این، یک مدل از رایانه‌ای که باید بر طبق آن، زمان محاسبه شود مورد نیاز است. به طور معمول، این مدل‌ها فرض می کنند که رایانه، "فطعی" (به این مفهوم که به ازای یک حالت معین و برای تمامی ورودی ها، رایانه تنها می تواند یک عمل ممکن انجام دهد) و "ترتیبی" (به این معنی که عملی را بعد از عمل دیگر انجام می دهد) است.

در این نظریه، کلاس P شامل تمام مسئله‌های تصمیم گیری است -در زیر تعریف شده- که پاسخ به آن‌ها بر روی یک ماشین قطعی ترتیبی، در زمان چندجمله‌ای به ازای ورودی، ممکن باشد؛ کلاس NP شامل تمام مسئله‌های تصمیم گیری است که پاسخ‌های مثبت آن‌ها می تواند در زمان چند جمله‌ای با اطلاعات درست، تحقیق شود و یا بطور معادل، پاسخ‌های آن‌ها در زمان چندجمله‌ای بر روی یک ماشین غیر قطعی، یافت شود.[۲]

با این تعاریف، مهمترین سؤال این است که رابطه این دو کلاس چگونه است؟ آیا P=NP؟

در یک نظرسنجی در سال ۲۰۰۲ از ۱۰۰ محقق، ۶۱ نفر به این پرسش پاسخ منفی دادند، ۹ نفر پاسخ مثبت و ۲۲ نفر هنوز مطمئن نبودند. ۸ نفر هم معتقد بودند که شاید سؤال خارج از اصول موضوعه پذیرفته شده کنونی باشد بنابر این رد و یا اثبات آن غیر ممکن است.[۳]

تعریف‌های رسمی برای کلاس‌های P و NP[ویرایش]

تعریف مسئله تصمیم گیری: مسئله‌ای که یک رشته به عنوان ورودی دریافت کرده و پاسخ "بله" یا "خیر" می دهد.
اگر یک الگوریتم وجود داشته باشد (یک ماشین تورینگ و یا یک برنامه رایانه‌ای با حافظه نامتناهی) که قادر باشد به ازای هر ورودی به طول n در حداکثر c \cdot n^k مرحله که k و c اعداد ثابتی مستقل از طول ورودی هستند، جواب درست بدهد آنگاه می گوییم مسئله می تواند در زمان چندجمله‌ای حل شود و آن را در کلاس P قرار می دهیم.

NP-complete[ویرایش]

تعریف NP-complete[ویرایش]

برای حل این مسائل هیچ الگوریتمی با پیچیدگی چند جمله ای وجود ندارد.

آیا P به معنی سادگی است؟![ویرایش]

چرا بسیاری از محققین فکر می کنند P≠NP؟[ویرایش]

پی آمدهای اثبات[ویرایش]

نتایج در مورد سختی اثبات[ویرایش]

الگوریتم‌های زمان-چندجمله‌ای[ویرایش]

توصیفات منطقی[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  • ویکی‌پدیای انگلیسی:
  1. Millennium Prize problems”. 2000-05-24.  Retrieved on 2008-01-12.
  2. Sipser, Michael: Introduction to the Theory of Computation, Second Edition, International Edition, page 270. Thomson Course Technology, 2006. Definition 7.19 and Theorem 7.20.
  3. William I. Gasarch. The P=?NP poll.(PDF). . SIGACT News 33, no. 2 ({{{day}}} June ‎2002): 34–47.  10.1145/1052796.1052804]}} Retrieved on 2008-12-29.