اجتماع مجموعه‌های مجزا

اجتماع مجموعه‌های مجزا (به انگلیسی: Disjoint union) در ریاضیات و نظربهٔ مجموعه‌ها به دو مورد تقریبا شبیه به هم مربوط می‌شود.

تعریف

دلیل وجود دو تعریف، مربوط به جمع مستقیم داخلی و خارجی است.

نوع اول:اجتماع دو مجموعهٔ مجزا

یک مجموعه $X$ اجتماع مجزای سیستم مجموعه‌ها می‌شود، $(X_i)_{i\in I}$ از زیرمجموعه‌های $X_i\subseteq X$ و نوشته می‌شود:

$X = \dot{\bigcup_{i\in I}}X_i,$

وقتی شرایط زیر برقرار باشد:

• $X_i\cap X_j=\varnothing,$ اگر $i\ne j$× بدین معنی است که $X_i$ زوج مجزا هستند.
• $\textstyle X=\bigcup\limits_{i\in I}X_i$، این بدین معنی است که $X$ اجتماع مجموعه‌های $X_i$ می‌باشد.

نوع دوم:اجتماع دلخواه مجموعه‌های مجزا

مجموعه‌های $X_i$برای $i\in I$ داده‌شده‌اند، بدین ترتیب مجموعهٔ زیر:

$\bigsqcup_{i\in I}X_i=\bigcup_{i \in I}\{(i,x)\mid x\in X_i\}$

اجتماع مجموعه‌های مجزای$X_i$ می‌شود، زیرا زیرمجموعه‌ها همگی به صورت مصنوعی از یکدیگر مجزا بودند.

مثال

مثال برای تعریف اول

اجتماع مجزای $A = \{1, 2, 3\}$ und $B = \{4, 5, 6\}$.

• $A\cap B=\varnothing$هر دو مجموعه مجزا هستند.
• $A\;\dot{\cup}\; B=C$
• $C$ اجتماع مجموعه‌های $A$ و $B$ می‌باشد ← $C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ .
• در اینجا مجموعه‌های $A$ و $B$ افرازی از مجموعهٔ $C$ هستند.

مثال برای تعریف دوم

اجتماع مجزای مجموعه‌های $X_1 = \{1,2,3\}$ و $X_2 = \{1,2,3,4\}$.

• $I = \{1,2\}$
• $\textstyle \bigsqcup\limits_{i \in I} X_i = \bigcup\limits_{i \in I}\{(i,x)\mid x \in X_i\} = \{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)\}$

منبع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Disjunkte Vereinigung»، ویکی‌پدیای آلمانی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۱۳ آوریل ۲۰۱۱).