مانده (آنالیز مختلط)

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در آنالیز مختلط، مانده عدد مختلطی است که رفتار انتگرال منحنی‌الخط یک تابع مرومورفیک را حول نقطه تکین شرح می‌دهد. مانده‌ها به سادگی می‌توانند محاسبه شوند و با استفاده از قضیه مانده مقدار بسیاری از انتگرال‌های پیچیده ا بدست می‌دهند.

انگیزه[ویرایش]

به عنوان یک مثال، انتگرال

\oint_C {e^z \over z^5}\,dz

را در نظر بگیرید که C یک خم ژوردان حول ۰ است. اجازه بدهید این انتگرال را بدون استفاده از قضایای استاندارد انتگرال‌گیری حل کنیم. سری تیلور ez را در تابع زیر انتگرال جایگزین می‌کنیم:

\oint_C {1 \over z^5}\left(1+z+{z^2 \over 2!} + {z^3\over 3!} + {z^4 \over 4!} + {z^5 \over 5!} + {z^6 \over 6!} + \cdots\right)\,dz.

حال 1/z5 را به داخل سری می‌بریم و داریم

\oint_C \left({1 \over z^5}+{z \over z^5}+{z^2 \over 2!\;z^5} + {z^3\over 3!\;z^5} + {z^4 \over 4!\;z^5} + {z^5 \over 5!\;z^5} + {z^6 \over 6!\;z^5} + \cdots\right)\,dz
\oint_C \left({1 \over\;z^5}+{1 \over\;z^4}+{1 \over 2!\;z^3} + {1\over 3!\;z^2} + {1 \over 4!\;z} + {1\over\;5!} + {z \over 6!} + \cdots\right)\,dz.

حال انتگرال به شکل ساده‌تری تبدیل می‌شود. با به خاطر آوردن

\oint_C {1 \over z^a} \,dz=0,\quad a \in \mathbb{R},\mbox{ for }a \ne 1.

اکنون انتگرال حول C برای هر جمله که به شکل cz−1 نیست صفر می‌شود، و انتگرال به صورت زیر می‌شود:

\oint_C {1 \over 4!\;z} \,dz={1 \over 4!}\oint_C{1 \over z}\,dz={1 \over 4!}(2\pi i) = {\pi i \over 12}.

مقدار 1/4! با عنوان مانده‌ی ez/z5 در z = 0 شناخته می‌شود، و به صورت زیر نشان داده می‌شود

\mathrm{Res}_0 {e^z \over z^5},\ \mathrm{or}\ \mathrm{Res}_{z=0} {e^z \over z^5},\ \mathrm{or}\ \mathrm{Res}(f,0).

محاسبهٔ مانده[ویرایش]

دیسک سوراخ‌دار D = {z : 0 <|zc| <R} را در صفحه مختلط و تابع هولومورفیک f (حداقل) تعریف شده بر D را در نظر بگیرید. ماندهٔ f در c ضریب a−1 از (zc)−1 در سری لوران بسط f حول c است. در یک قطب ساده، مانده به‌وسیله‌ٔ

\operatorname{Res}(f,c)=\lim_{z\to c}(z-c)f(z)

بدست می‌آید. بر اساس فرمول انتگرال‌گیری داده شده در مقالهٔ سری لوران داریم:

\operatorname{Res}(f,c) = {1 \over 2\pi i} \int_\gamma f(z)\,dz

که γ دایره را حول c در جهت پادساعتگرد می‌پیماید. می‌توانیم γ را یک دایره با شعاع ε حول c انتخاب کنیم که ε به اندازه دلخواه کوچک است. ماندهٔ تابع f(z)=g(z)/h(z) در قطب ساده c که gو h توابع هولومورفیک در همسایگی c با h(c) = 0 و g(c) ≠ 0 به‌وسیله‌ی

\operatorname{Res}(f,c) = \frac{g(c)}{h'(c)}

داده می‌شود. به طور کلی‌تر، مانده f حول z = c، یک قطب از مرتبه n، با فرمول

 \mathrm{Res}(f,c) = \frac{1}{(n-1)!} \cdot \lim_{z \to c} \left(\frac{d}{dz}\right)^{n-1}\left( f(z)\cdot (z-c)^{n} \right)

بدست می‌آید. اگر تابع f روی تمام دیسک { z : |zc| <R } هولومورفیک باشد آنگاه Res(f، c) = 0. عکس آن در حالت کلی برقرار نیست.

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]