دایره واحد

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
(تغییرمسیر از دایره مثلثاتی)
پرش به: ناوبری، جستجو
تصویری از دایره‌ای واحد

دایره واحد، دایره‌ای به شعاع واحد است. معمولاً و به خصوص در مثلثات، دایرهٔ واحد دایره‌ای است با شعاعی به طول ۱ که مرکز آن نقطهٔ (۰٫۰) در دستگاه مختصات دکارتی در صفحه اقلیدسی است.

اگر (x٫y) نقطه‌ای بر روی دایره واحد در ربع اول باشد آنگاه x و y طول ضلع‌های مثلث قائمه‌ای با وتری به طول یک هستند. بنابراین از قضیه فیثاغورس نتیجه می‌گیریم که x و y در معادلهٔ x^2 + y^2 = 1 صدق می‌کنند. این معادله، معادلهٔ دابره‌ای به شعاع ۱ و مرکز مبدأ مختصات است که هر نقطه‌ای بر روی دایرهٔ واحد در آن صدق می‌کند.

صورت‌های نقاط دایره واحد[ویرایش]

  • صورت نمایی:
 z = \,\mathrm{e}^{i \theta}\,
  • صورت مثلثاتی:
z = \cos(\theta) + i \sin(\theta)  \,

\theta زاویه‌ای است که خط گذرنده از Z و مبدأ مختصات با جهت مثبت محور Xها می‌سازد.

توابع مثلثاتی بر دایرهٔ واحد[ویرایش]

نمایش نسبت‌های مثلثاتی در دایره مثلثاتی

جهت مثبت دایره مثلثاتی را مخالف جهت حرکت عقربه‌های ساعت در نظر می گیرند.[۱]

نقطه‌ای مانند A با مختصات (\sin \theta,\cos \theta) بر روی محیط دایره در نظر بگیرید (شکل روبرو). طبق تعاریف سینوس و کسینوس می‌دانیم که \cos(\theta) = x \,\! و \sin(\theta) = y \,\!. از طرفی برای مثلث قائم‌الزاویه OAC که وتر آن به اندازه یک واحد است، داریم  \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1 \,\! که این رابطه یکی از پایه‌ای‌ترین مفاهیم علم مثلثات است.

با توجه به خواص دایره مثلثاتی و از آنجا که توابع سینوس و کسینوس متناوب هستند خواهیم داشت:

\cos \theta = \cos(2\pi k+\theta) \,\!
\sin \theta = \sin(2\pi k+\theta) \,\!

جستارهای وابسته[ویرایش]

پانویس[ویرایش]

  1. «رياضيات اول دبيرستان - آموزش گام به گام»(فارسی)‎. شبکه آموزش سیما. 

منابع[ویرایش]

  • توماس، جورج و راس فینی. حساب دیفرانسیل و انتگرال و هندسهٔ تحلیلی. ج. ۱. ترجمهٔ مهدی بهزاد و دیگران. چاپ چهاردهم. تهران: مرکز نشر دانشگاهی، ۱۳۸۷. شابک ‎۹۷۸-۹۶۴-۰۱-۸۰۴۰-۲. 
  • براون، جیمز وارد و روئل ونس چرچیل. متغیرهای مختلط و کاربردهای آن. ترجمهٔ امیر خسروی. چاپ سوم. تهران: مرکز نشر دانشگاهی، ۱۳۹۰. شابک ‎۹۷۸-۹۶۴-۰۱-۱۳۳۷-۰. 
  • جلیل‌الله قراگزلو. مثلثات پایه. تهران:موسسه فرهنگی فاطمی، ۱۳۸۰. ISBN ۹۶۴-۳۱۸-۰۵۴-۹