جبر مجموعه‌ها

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

جبر مجموعه ها خواص و قوانین مجموعه، تقاطع و متمم و روابط برابری و شمول مجموعه ها را بیان می کند. همچنین روشی اصولی برای ارزیابی عبارات و انجام محاسبات شامل این عملیات و روابط فراهم می کند. هر مجموعه ای تحت عملیات نظریه مجموعه ها یک جبر بولی را تشکیل می دهد. (عملگر + همان اجتماع، عملگر . همان اشتراک و عملگر متمم بیانگر متمم مجموعه است.)

پایه[ویرایش]

جبر مجموعه ها مجموعه ای نظری مشابه جبر اعداد است. درست مانند جمع حسابی و ضرب که دارای خاصیت انجمنی(شرکت پذیری) و جا به جایی اند، اجتماع و اشتراک نیز این خواص را دارند . درست مانند رابطه ی حسابی "کوچکتر مساوی" که خواص بازتابی، پاد متقارن و متعدی است، در نظریه ی مجموعه ها نیز عملگری به نام "زیرمجموعه بودن" دارای این خواص است.

جبر مجموعه ها، جبری از عملیات اجتماع، اشتراک و متمم، و روابط برابری و شمول نظریه ی مجموعه ها است. برای یک آشنایی ساده با مجموعه ها، به مقالات مجموعه (ریاضی) نگاه کنید، برای یک آشنایی بیشتر و عمیق تر، نظریه طبیعی مجموعه‌ها را ببینید ، و برای بررسی دقیق و کامل نظریه ی مجموعه ها، نظریه مجموعه‌ها را ببینید.

قوانین بنیادی جبر مجموعه ها[ویرایش]

عملیات باینری اجتماع(∪) و اشتراک(∩) خواصی را به وجود آورده اند که برخی از این خواص یا "قوانین" دارای نام های به خصوص و مشهوری هستند:

قانون جابه جایی:
  • A \cup B = B \cup A\,\!
  • A \cap B = B \cap A\,\!
قانون شرکت پذیری:
  • (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)\,\!
  • (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)\,\!

قانون پخشی:

  • A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\,\!
  • A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\,\!

شباهت بین اجتماع و اشتراک مجموعه ها، و جمع و ضرب اعداد، کاملا قابل توجه است. مانند جمع و ضرب، عملیات اجتماع و اشتراک دارای خواص جابجایی و شرکت پذیری هستند، و اشتراک بر روی اجتماع پخش پذیر است.البته بر خلاف جمع و ضرب، اجتماع نیز بر روی اشتراک پخش پذیر است.

دو قانون دیگر شامل مجموعه های خاصی با نام مجموعه ی تهی (∅) و مجموعه جهانی (U) می شود؛ که متمم یکدیگرند. مجموعه ی تهی هیچ عضوی ندارد، و مجموعه ی جهانی است شامل همه ی اعضای امکان پذیر است (در یک زمینه خاص).

قانون هویت:
  • A \cup \varnothing = A\,\!
  • A \cap U = A\,\!
قانون متمم:
  • A \cup A^C = U\,\!
  • A \cap A^C = \varnothing\,\!

قوانین هویت (همراه با قوانین جابجایی) می گویند که، درست مثل 0 و 1 برای جمع و ضرب، ∅ و U عناصر هویت برای اجتماع و اشتراک اند.

بر خلاف جمع و ضرب، اجتماع و اشتراک عناصر معکوس ندارند. با این حال قوانین مکمل، باعث به وجود آمدن خاصیتی بنیادی از عمل یگانی متمم که تا حدودی شبیه معکوس است، می شود.

پنج قانون فوق الذکر - جابجایی، شرکت پذیری، پخش پذیری، هویت و متمم – تمام جبر مجموعه ها را در بر می گیرد، به این معنا که هر گزاره معتبر در جبر مجموعه ها می تواند از آنها استنتاج شود.

توجه داشته باشید که اگر قوانین مکمل به قانون  (A^C)^C = A تقلیل داده شود، این دقیقا همان جبر منطق خطی است.

اصل دوگانگی[ویرایش]

هر جفت از خواص مطرح شده در بالا را می توان با جایگزینی ∪ به جای ∩ و برعکس و همچنین ∅ به جای U و برعکس، به یکدیگر تبدیل نمود.

اینها مثال هایی از یکی از ویژگیهای بسیار مهم و قدرتمند جبر مجموعه ها یعنی، اصل دوگانگی است، که ادعا می کند که برای هر عبارت درست در مورد مجموعه ها، عبارت دوگان توسط تبادل اجتماع ها و اشتراک ها و همچنین تبادل U و ∅ به دست می آید که این عبارت نیز درست است. اگر دوگان یک عبارت با خود عبارت برابر باشد، عبارت را خود-دوگان می گوییم.

چند قانون دیگر برای اجتماع و اشتراک[ویرایش]

گزاره زیر، شش قانون مهم دیگر از جبر مجموعه ها -شامل اجتماع ها و اشتراک ها- را بیان می کند. گزاره 3: هر زیر مجموعه ای از مجموعه ی جهانی U، مانند A و B، خواص زیر را دارا می باشند:

قوانین همانی:
  • A \cup A = A\,\!
  • A \cap A = A\,\!
قوانین غلبه:
  • A \cup U = U\,\!
  • A \cap \varnothing = \varnothing\,\!
قوانین جذب:
  • A \cup (A \cap B) = A\,\!
  • A \cap (A \cup B) = A\,\!

همانطور که در بالا اشاره شد، هر یک از قوانین مندرج در گزاره 3 را می توان از پنج قانون بنیادی استنتاج کرد. به عنوان مثال، یک اثبات برای قانون همانی اجتماع در زیر بیان شده است.

اثبات:

A \cup A\,\! =(A \cup A) \cap U\,\! طبق قانون هویت اشتراک
=(A \cup A) \cap (A \cup A^C)\,\! طبق قانون متمم اجتماع
=A \cup (A \cap A^C)\,\! طبق قانون پخش پذیری اجتماع بر روی اشتراک
=A \cup \varnothing\,\! طبق قانون متمم اشتراک
=A\,\! طبق قانون هویت اجتماع

اثبات زیر نشان میدهد که دوگان اثبات فوق، اثبات "دوگان قانون همانی برای اجتماع"، یعنی "قانون همانی برای اشتراک" است.

اثبات:

A \cap A\,\! =(A \cap A) \cup \varnothing طبق قانون هویت اجتماع
=(A \cap A) \cup (A \cap A^C)\,\! طبق قانون متمم اشتراک
=A \cap (A \cup A^C)\,\! طبق قانون پخش پذیری اشتراک بر روی اجتماع
=A \cap U\,\! طبق قانون متمم اجتماع
=A\,\! طبق قانون هویت اشتراک

اشتراک دو مجموعه را می توان با عملگر "تفاضل دو مجموعه" بیان کرد: A \cap B\,\! = A \smallsetminus (A \smallsetminus B)

چند قانون دیگر برای متمم[ویرایش]

گزاره ی زیر چند قانون مهم تر در باب متمم ها را بیان می کند:

گزاره ی 4 : فرض کنید A و B، زیرمجموعه هایی از مجموعه ی جهانی U باشند:

قانون دمرگان:
  • (A \cup B)^C = A^C \cap B^C\,\!
  • (A \cap B)^C = A^C \cup B^C\,\!
مکمل دوتایی یا قانون همانی:
  • {(A^{C})}^{C} = A\,\!
قوانین متمم برای مجموعه ی جهانی و مجموعه ی تهی:
  • \varnothing^C = U
  • U^C = \varnothing

توجه کنید که مکمل دوتایی، خود-دوگان است.

گزاره ی بعدی، که آن هم خود-دوگان است، بیان می کند که متمم یک مجموعه تنها مجموعه ای است که قوانین متمم برایش صادق است. به عبارت دیگر، متمم توسط قوانین متمم مشخص می شود.

گزاره ی 5 : فرض کنید A و B، زیرمجموعه هایی از مجموعه ی جهانی U باشند:

همتایی متمم:
  • اگر A \cup B = U\,\! و A \cap B = \varnothing\,\!, آنگاه B = A^C\,\!

جبر شمول[ویرایش]

گزاره ی زیر بیان می کند که شمول دارای خاصیت ترتیب است:

گزاره ی 6 : B ، A و C سه مجموعه هستند:

بازتابی:
  • A \subseteq A\,\!
پادتقارنی:
  • A \subseteq B\,\! و B \subseteq A\,\! اگر و تنها اگر A = B\,\!
تراگذری:
  • اگر A \subseteq B\,\! و B \subseteq C\,\!, آنگاه A \subseteq C\,\!

گزاره زیر می گوید که برای هر مجموعه S، مجموعه توانی S، یک توری محدود است، و از این رو همراه با قوانین توزیع و متمم فوق، نشان داده می شود که یک جبر بولی است.

گزاره ی 7: اگر B ، A و C سه زیرمجموعه از S باشند:

وجود کوچکترین عضو و بزرگترین عضو:
  • \varnothing \subseteq A \subseteq S\,\!
وجود سوپریمم:
  • A \subseteq A \cup B\,\!
  • اگر A \subseteq C\,\! و B \subseteq C\,\!, آنگاه A \cup B \subseteq C\,\!
وجود اینفیمم:
  • A \cap B \subseteq A\,\!
  • اگر C \subseteq A\,\! و C \subseteq B\,\!, آنگاه C \subseteq A \cap B\,\!

گزاره ی زیر بیان می کند که عبارت A \subseteq B\,\! معادل عبارت های دیگر از جمله اشتراک، اجتماع و مکمل است.

گزاره ی 8 : برای هر دو مجموعه ی A و B عبارت های زیر همگی معادل اند:

  • A \subseteq B\,\!
  • A \cap B = A\,\!
  • A \cup B = B\,\!
  • A \smallsetminus B = \varnothing
  • B^C \subseteq A^C

گزاره فوق نشان می دهد که رابطه ی شمول می تواند با عملگر های اجتماع یا اشتراک مشخص شود. این به این معناست که نظریه ی شمول به وضوح غیرضروری است.

جبر متمم[ویرایش]

گزاره ی زیر شامل چند خاصیت پیرامون اصل متمم است.

گزاره ی 9 : برای هر مجموعه ی جهانی U و زیرمجموعه های B ، A و C از این مجموعه داریم:

  • C \setminus (A \cap B) = (C \setminus A) \cup (C \setminus B)\,\!
  • C \setminus (A \cup B) = (C \setminus A) \cap (C \setminus B)\,\!
  • C \setminus (B \setminus A) = (A \cap C)\cup(C \setminus B)\,\!
  • (B \setminus A) \cap C = (B \cap C) \setminus A = B \cap (C \setminus A)\,\!
  • (B \setminus A) \cup C = (B \cup C) \setminus (A \setminus C)\,\!
  • A \setminus A = \varnothing\,\!
  • \varnothing \setminus A = \varnothing\,\!
  • A \setminus \varnothing = A\,\!
  • B \setminus A = A^C \cap B\,\!
  • (B \setminus A)^C = A \cup B^C\,\!
  • U \setminus A = A^C\,\!
  • A \setminus U = \varnothing\,\!

منابع[ویرایش]

  • Enderton, H. B. Elements of Set Theory, 2nd edition, ACADEMIC Press, Inc., 1977. ISBN 7-238440-12-0
  • کتاب درسی جبر و احتمال، سال سوم نظام جدید (رشته ریاضی‌,فیزیک).