تابع موبیوس

تابع موبیوس٬ که با $\mu$ نمایش داده می‌شود٬ تابعی پر اهمیت در نظریه‌ی اعداد و ترکیبیات است. آگوست فردینانند موبیوس صورت اولیه‌ی این تابع را در سال ۱۸۳۲ میلادی معرفی کرد.

تعریف

برای هر عدد صحیح مثبت $n$ مقدار تابع موبیوس با توجه به تجزیه‌ی $n$ به عوامل اول به صورت زیر تعریف می‌شود:

• اگر $n$ خالی از مربع نباشد، یعنی اگر عدد اول $p$ موجود باشد که مربع آن $p^{2}$، عدد $n$ را بشمارد، آن‌گاه $\mu (n)=0$؛
• اگر $n$ خالی از مربع باشد و تعداد عوامل اول $n$ برابر $k$ باشد، یعنی اگر $n$ حاصل‌ضرب $k$ عدد اول متفاوت باشد، آن‌گاه $\mu (n)=(-1)^{k}$.

برای مثال، اگر عدد ۲۴$n=$ را در نظر بگیریم، $\mu (n)=0$ زیرا ۲۴ خالی از مربع نیست. اما اگر عدد ۳۰$n=$ را در نظر بگیریم، $\mu (n)=(-1)$ زیرا ۳۰ حاصل‌ضرب سه عدد اول متفاوت ۲، ۳ و ۵ است.

مقادیر تابع موبیوس برای برخی اعداد صحیح مثبت

۳۰	۲۹	۲۸	۲۷	۲۶	۲۵	۲۴	۲۳	۲۲	۲۱	۲۰	۱۹	۱۸	۱۷	۱۶	۱۵	۱۴	۱۳	۱۲	۱۱	۱۰	۹	۸	۷	۶	۵	۴	۳	۲	۱	$n$
۱-	۱-	۰	۰	۱	۰	۰	۱-	۱	۱	۰	۱-	۰	۱-	۰	۱	۱	۱-	۰	۱-	۱	۰	۰	۱-	۱	۱-	۰	۱-	۱-	۱	$\mu (n)$

خواص تابع موبیوس

تابع موبیوس یک تابع ضربی است.

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Möbius function». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۳۰ ژانویه ۲۰۲۰.