اتحاد و تجزیه (جبر)

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

اتحاد در ریاضیات، یک گزاره همواره صادق است که معمولاً برای ساده‌سازی فعالیتهای جبری در ریاضی بکار می‌رود.

تجزیه عبارت است از شکستن یک عبارت (عدد، چندجمله‌ای یا ماتریس) بصورت مضربی از عبارات دیگر، بصورتی که حاصل‌ضرب آنها عبارت اصلی را نتیجه بدهد مثلاً عدد ۱۵ به دو عدد اول ۵ و ۳ تجزیه می‌شود و چندجمله‌ای x2 − 4 به (x − 2)(x + 2). نتیجهٔ یک تجزیه همیشه حاصل‌ضربی از عبارات ساده‌تر است.

تعریفی دیگر[ویرایش]

معادله ای که به ازای هر عدد حقیقی برقرار باشد اتحاد نامیده می شود.[۱]

کاربرد اتحاد[ویرایش]

  • ساده‌سازی محاسبات اعدادی مانند۱۰۱۲
  • تجزیه عبارات گویا که خود در ب.م.م گیری و ک.م.م گیری کاربرد دارد.
  • تجزیه عبارات گویا که برای حل معادلات درجه دو و سه و بیشتر کاربرد دارد.
  • بدست آوردن جواب معادلات درجه ی دو

انواع اتحاد[ویرایش]

اتحادها بسیار زیاد هستند، اما چند اتحاد اصلی که پایهٔ اتحادهای دیگر هستند از این قراراند:

مربع دو جمله‌ای (اتحاد اول و اتحاد دوم)[ویرایش]

(a+b)^2=a^2+b^2+2ab\,\!
(a-b)^2=a^2+b^2-2ab \,\!

مربع سه جمله‌ای[ویرایش]

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc \,\!

مکعب مجموع دو جمله[ویرایش]

(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \,\!
(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \,\!

اتحاد مزدوج[ویرایش]

(a-b)(a+b)=a^2-b^2 \,\!

اتحاد جمله مشترک[ویرایش]

(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab \,\!
(x+a)(x-b)=x^2+(a-b)x-ab \,\!

مجموع و تفاضل مکعبات دوجمله (اتحاد چاق و لاغر)[ویرایش]

(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3 \,\!
(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3 \,\![۲]

اتحاد اویلر[ویرایش]

(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)=a^3+b^3+c^3-3abc \,\!

اتحاد لاگرانژ[ویرایش]

(a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ay-bx)^2 \,\!

بسط چند جمله ای نیوتن[ویرایش]

(a+b)^n=\binom{n}{0}a^nb^0+\binom{n}{1}a^{n-1}b^1+\dots+\binom{n}{n}a^0b^n[۳]

منابع[ویرایش]

  1. حساب دیفرانسیل و انتگرال با هندسه ی تحلیلی نوشته ی لویی لیت هولد
  2. ریاضی سال اول دبیرستان
  3. ریاضی سال دوم دبیرستان رشته ریاضی فیزیک