قضیه تالس

قضیهٔ تناسب تالس یکی از قضایای مهم در هندسه است که می‌گوید: اگر دو خط راستِ موازی با یکدیگر اضلاع یک زاویه (دو خط متقاطع با هم) را قطع کنند، آنگاه بر روی زاویه پاره خط‌های متناسب ایجاد می‌شود.

تاریخچه

مصریان باستان

در پاپیروس رایند قضیه ای بیان شده‌است که هم ارز با قضیهٔ تالس می‌باشد

هزار و سیصد سال قبل از تولد تالس مصریان باستان قضیهٔ تالس را می‌دانستند؛ درواقع در راه حل مسئلهٔ شماره ۵۳ پاپیروس رایند از معادل قضیهٔ تالس استفاده می‌شود.

یونانیان باستان

قضیهٔ دوم مقالهٔ ششم اصول اقلیدس به اثبات قضیهٔ تالس و عکس آن می‌پردازد.

بیان قضیه و اثبات در اصول اقلیدس

اگر خط راستی موازی با یکی از اضلاع مثلث رسم شود، دو ضلع دیگر را به یک نسبت می‌برد.(قضیه ۲ مقالهٔ ششم)

"فرض می‌کنیم DE موازی با BC یکی از اضلاع مثلث ABC رسم شده‌است. می‌خواهیم اثبات کنیم نسبت BD به AD مثل نسبت CE است به AE.

E را به B و D را به C وصل می‌کنیم؛ بنابراین مساحت مثلث BDE با مساحت مثلث CDE مساوی است. زیرا هر دو دارای یک قاعدة DE هستند و رأسهای آنها بر خط راست BC، موازی با قاعدهٔ DE قرار دارد؛"

$$DE\parallel BC\Longrightarrow BDE=CDE$$

"از آن جایی که نسبت‌های کمیت‌های متساوی به یک کمیت با هم مساوی اند پس نسبت مثلث BDE به مثلث ADE مثل نسبت مثلث CDE است به مثلث ADE. از طرفی نسبت مثلث BDE به مثلث ADE، مثل نسبت BD است به DA؛ زیرا دارای یک ارتفاع اند که از E بر AB عمود می‌شود و نسبت آنها به یکدیگر مثل نسبت قاعده‌های آنهاست. به‌طور مشایه نسبت مثلث CDE به مثلث ADE مثل نسبت CE است به EA. بنابراین نسبت BD به DA نیز مثل نسبت CE است به EA."

$${\frac {\vartriangle {BDE}}{\vartriangle {ADE}}}={\frac {\vartriangle {CDE}}{\vartriangle {ADE}}}={\frac {CE.h'}{EA.h'}}={\frac {BD.h}{AD.h}}\Rightarrow {\frac {CE}{EA}}={\frac {BD}{AD}}$$

اثبات عکس قضیه در اصول اقلیدس

اگر ضلع‌های مثلثی به یک نسبت بریده شده باشند، خط راست واصل بین نقطه‌های بریدگی با ضلع سوم موازی است.

باز فرض می‌کنیم در مثلث ABC ضلعهای AB و AC به یک نسبت قطع شده‌اند، به طوری که نسبت BD به DA مثل نسبت CE به EA است؛ و فرض می‌کنیم D به E وصل شده‌است. می‌خواهیم اثبات کنیم DE با BC موازی است. در همان شکل، چون نسبت BD به DA مثل نسبت CE است به EA اما نسبت BD به DA، مثل نسبت مثلث BDE است به مثلث ADE، و، نسبت CE به EA، مثل نسبت مثلث CDE است به مثلث ADE، بنابراین، نسبت مثلث BDE به مثلث ADE هم، مثل نسبت مثلث CDE است به مثلث

اثبات به کمک بردار

برای اثبات ابتدا فرض کنیم:

$${\overrightarrow {BA}}=K.{\overrightarrow {MA}},{\overrightarrow {AC}}=K'.{\overrightarrow {AN}},{\overrightarrow {BC}}=K''.{\overrightarrow {MN}}$$

بنابراین:

$${\overrightarrow {BA}}=K.{\overrightarrow {MA}},{\overrightarrow {AC}}=K.{\overrightarrow {AN}},{\overrightarrow {BC}}=K''.{\overrightarrow {MN}}$$

$${\overrightarrow {MA}}+{\overrightarrow {AN}}={\overrightarrow {MN}},{\overrightarrow {BA}}+{\overrightarrow {AC}}={\overrightarrow {BC}}\Longrightarrow$$

$$K.{\overrightarrow {MA}}+K'.{\overrightarrow {AN}}=K''.{\overrightarrow {MN}}=K''({\overrightarrow {MA}}+{\overrightarrow {AN}})=K''{\overrightarrow {MA}}+K''.{\overrightarrow {AN}}\Longrightarrow$$

$$(K-K''){\overrightarrow {MA}}+(K-K'').{\overrightarrow {AN}}=0\Rightarrow (K-K'')({\overrightarrow {MA}}+{\overrightarrow {AN}})=0$$

ولی $a.{\overrightarrow {MA}}$ و $b.{\overrightarrow {AN}}$ بردارهایی در راستا و جهت‌های مختلف اند، پس مجموع آنها نمی‌تواند صفر شود مگر آنکه: $k-k'=k'-k''=0$

و در نتیجه $K=K'=K''$ و از آنجا حکم ثابت می‌شود.

اثبات قضیهٔ تالس در فضای سه بعدی

صفحه‌های موازی، روی دو خط که آن‌ها را قطع می‌کنند، پاره خط‌های متناسب ایجاد می‌کنند.

با فرض آن که صفحه Q بین دو صفحه P و R قرار دارد، خط 'AC را رسم می‌کنیم. این خط صفحه Q را در نقطه ای مانند M قطع می‌کند. صفحه شامل دو خط متقاطع AC و 'AC را T و صفحه گذرنده از دو خط متقاطع 'AC و 'A'C را S می‌نامیم، داریم: صفحه T دو صفحه موازی Q و R را قطع کرده‌است، بنابراین فصل مشترک‌ها موازی هستند یعنی 'BM||CC، در نتیجه در مثلث 'ACC با توجه به قضیه تالس می‌توان نوشت:

همچنین صفحه S دو صفحه موازی P و Q را قطع کرده‌است، بنابراین فصل مشترک‌ها موازی هستند یعنی 'B'M||AA، در نتیجه در مثلث 'ACC با توجه به قضیه تالس می‌توان نوشت:

اکنون با توجه به رابطه ۱ و ۲ البته باید توجه داشت که عکس قضیهٔ تالس در فضا لزوماً برقرار نیست.

مفاهیم مرتبط

مثلث‌های متشابه

با انطباق گوشه‌های دو مثلث متشابه قضیه تالس را می‌توان اعمال کرد.

قضیهٔ تالس رابطهٔ تنگاتنگی با مفهوم تشابه دارد. در واقع قضایای مثلث‌های متشابه به کمک قضیهٔ تالس اثبات می‌شوند.

ضرب اسکالر در فضای برداری

در یک فضای برداری نُرمیده، با کمک اصول موضوعهٔ ضرب اسکالر (مشخصاً $\lambda \cdot ({\vec {a}}+{\vec {b}})=\lambda \cdot {\vec {a}}+\lambda \cdot {\vec {b}}$ و $\|\lambda {\vec {a}}\|=|\lambda |\cdot \ \|{\vec {a}}\|$)

می‌توان قضیهٔ تالس را به دست آورد.

s ${\frac {\|\lambda \cdot {\vec {a}}\|}{\|{\vec {a}}\|}}={\frac {\|\lambda \cdot {\vec {b}}\|}{\|{\vec {b}}\|}}={\frac {\|\lambda \cdot ({\vec {a}}+{\vec {b}})\|}{\|{\vec {a}}+{\vec {b}}\|}}=|\lambda |$

کاربردها

به دست آوردن ارتفاع هرم خئوپس

محاسبه ی مقادیر C و D

با توجه به منابع تاریخی یونان باستان تالس ریاضی‌دان یونان باستان با استفادده از این قضیه توانست ارتفاع هرم هرم خئوپس را به دست آورد. توضیح زیر استفاده از قضیهٔ تالس برای تعیین ارتفاع هرم خئوپس را شرح می‌دهد. به هر حال این کار اصلی تالس -که ازبین رفته‌است- را بازگو نمی‌کند.

ابتدا تالس طول ضلع قاعدهٔ هرم و میله را اندازه‌گیری می‌کند. سپس همان موقع طول سایهی میله و سایه هرم را اندازه‌گیری می‌کند؛ و داده‌های زیر به دست می‌آید:

• طول ارتفاع میله: 1.63 m
• طول سایهٔ میله: 2 m
• طول ضلع مربع قاعدهٔ هرم؟: 230 m
• طول سایهٔ هرم: 65 m

با کمک داده‌های بالا می‌توان اطلاعات زیر را به دست آورد؟:$C=65~{\text{m}}+{\frac {230~{\text{m}}}{2}}=180~{\text{m}}$ حالا با دانستن B , A و c می‌توان از قضیه تالس استفاده کرد.

$D={\frac {C\cdot A}{B}}={\frac {1.63~{\text{m}}\cdot 180~{\text{m}}}{2~{\text{m}}}}=146.7~{\text{m}}$

و مقدار D همان ارتفاع هرم می‌باشد.

ضرب دو پاره خط و پیدا کردن مقدار معکوس پاره خط

سه مسئلهٔ معروف در هندسه وجود دارد که یونانیان باستان در بحث ترسیم با پرگار و ستاره آن را مطرح کردند.

1. تثلیث زاویه
2. تضعیف مکعب
3. تربیع دایره

دو هزار سال بعد در قرن نوزدهم میلادی با استفاده از جبر مجرد غیرممکن بودن این ترسیم‌ها با پرگار و ستاره مشخص شد. برای بررسی ساختارهای ترسیم پذیر اطمینان یافتن از این موضوع مهم است که با دوخط داده شده خط دیگری می‌توان رسم کرد که مقدار آن برابر حاصل ضرب دو خط اولیه باشد (ترسیم حاصل ضرب دو خط) و همین‌طور نشان دادن اینکه برای هر پاره خط به طول $a$ پاره خط دیگری می‌توان ترسیم کرد که اندازهٔ آن $a^{-1}$ باشد (ترسیم معکوس یک پاره خط). با استفاده از قضیهٔ تالس می‌توان نشان داد که هر دو ساخت ممکن است.

ترسیم حاصل‌ضرب

ترسیم معکوس یک خط

تقسیم پاره خط به نسبت دلخواه برای تقسیم پاره خط داده شدهٔ ${\overline {AB}}$ با نسبت $m$ به $n$ , نیم خطی را با زاویهٔ دلخواه از $A$ رسم می‌کنیم. بر روی نیم خط ساخته شده $m+n$ نقطه با فاصلهٔ یکسان قرار می‌دهیم، سپس خط گذرنده از آخرین نقطهٔ ساخته شده و نقطهٔ $B$ رسم می‌کنیم و در ادامه خط دیگری از $m$امین نقطه و موازی با خط قبلی رسم می‌کنیم حالا پاره خط ${\overline {AB}}$ به نسبت خواسته شده تقسیم می‌شود. تصویر مقابل پاره خط ${\overline {AB}}$ را نشان می‌دهد که با نسبت $5$ به $3$تقسیم شده‌است.