تابع توزیع تجمعی برای توزیع نرمال . تابع چگالی احتمال برای چند توزیع نرمال، نمودار قرمز رنگ مربوط به توزیع نرمال استاندارد است .. [ ۱]
تابع توزیع تجمعی تابعی است غیر صفر و هم نوای صعودی که برد آن بازه [۰٫۱] بوده و احتمال آنکه متغیر تصادفی X دارای مقداری کوچک‌تر از x باشد را نشان می‌دهد، یعنی:
x
→
F
X
(
x
)
=
P
(
X
≤
x
)
{\displaystyle x\to F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)}
[ ۲]
از این تعریف می‌توان نتیجه گرفت که
P
(
a
<
X
≤
b
)
=
F
X
(
b
)
−
F
X
(
a
)
{\displaystyle P(a<X\leq b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)}
تابع توزیع تجمعی را می‌توان به صورت زیر بر اساس تابع چگالی احتمال نیز تعریف کرد
F
(
x
)
=
∫
−
∞
x
f
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt.}
[ ۳]
در مورد متغیرهای تصادفی با مقادیر گسسته این تعریف به صورت زیر است:
Pr
(
X
=
x
)
=
F
(
x
0
)
−
F
(
x
0
−
)
,
{\displaystyle \Pr(X=x)=F(x_{0})-F(x_{0}-),}
F
(
x
0
−
)
{\displaystyle F(x_{0}-)}
F
X
(
x
)
{\displaystyle F_{X}(x)}
x
{\displaystyle x}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
[ ۱]
تابع توزیع تجمعی برای متغیر تصادفی گسسته به این شکل تعریف می‌شود:
F
X
(
x
)
=
P
(
X
≤
x
)
=
∑
t
≤
x
f
(
t
)
{\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)=\sum _{t\leq x}f(t)}
تعریف تابع توزیع تجمعی برای متغیر تصادفی پیوسته به این شکل می‌شود :
F
X
(
x
)
=
P
(
X
≤
x
)
=
∫
t
≤
x
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)=\int _{t\leq x}f(t)dt}
تمام توابع توزیع تجمعی صعودی (ولی نه لزوماً صعودی اکید) و از راست پیوسته هستند.
0
≤
F
X
(
x
)
≤
1
{\displaystyle 0\leq F_{X}(x)\leq 1}
lim
x
→
−
∞
F
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F(x)=0}
lim
x
→
+
∞
F
(
x
)
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }F(x)=1}
[ ۱] اگر
x
1
≤
x
2
{\displaystyle x_{1}\leq x_{2}}
F
X
(
x
1
)
≤
F
X
(
x
2
)
{\displaystyle F_{X}(x_{1})\leq F_{X}(x_{2})}
P
(
X
>
x
)
=
1
−
F
X
(
x
)
{\displaystyle P(X>x)=1-F_{X}(x)}
P
(
x
1
<
x
≤
x
2
)
=
F
X
(
x
2
)
−
F
X
(
x
1
)
{\displaystyle P(x_{1}<x\leq x_{2})=F_{X}(x_{2})-F_{X}(x_{1})}
اگر M میانه داده‌ها باشد داریم :
F
X
(
M
)
=
∫
−
∞
M
f
(
x
)
d
x
=
1
2
{\displaystyle F_{X}(M)=\int _{-\infty }^{M}f(x)dx={\frac {1}{2}}}
و این همان تعریف میانه است که نیمی از داده‌ها مقداری کمتر از M دارند.[ ۴]
فرض کنید X یک متغیر تصادفی پیوسته‌است که تابع چگالی احتمال آن به این شکل تعریف شده باشد:[ ۵]
f
(
x
)
=
{
0
x
≤
−
1
x
+
1
−
1
<
x
≤
0
1
−
x
0
<
x
<
1
0
x
≥
1
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&x\leq -1\\\\x+1&-1<x\leq 0\\\\1-x&0<x<1\\\\0&x\geq 1\end{cases}}}
نمودار چگالی احتمال این متغیر تصادفی به شکل زیر خواهد بود:
با انتگرال‌گیری از تابع چگالی احتمال در هر بازه تابع توزیع تجمعی آن را به دست می‌آوریم و خواهیم داشت:
F
(
x
)
=
{
0
x
≤
−
1
1
2
(
x
+
1
)
2
−
1
<
x
≤
0
1
−
(
1
−
x
)
2
2
0
<
x
<
1
1
x
≥
1
{\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&x\leq -1\\\\{\frac {1}{2}}(x+1)^{2}&-1<x\leq 0\\\\1-{\frac {(1-x)^{2}}{2}}&0<x<1\\\\1&x\geq 1\end{cases}}}
در این قسمت تابع توزیع تجمعی چند توزیع معروف و نمودار توزیع تجمعی آن‌ها را بررسی می‌کنیم:
تابع چگالی احتمال توزیع طبیعی استاندارد برای ℝ
x
∈
{\displaystyle x\in }
f
(
x
)
=
1
2
π
e
−
x
2
2
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{\frac {-x^{2}}{2}}}
F
(
x
)
=
∫
f
(
x
)
d
x
=
∫
1
2
π
e
−
x
2
2
=
1
2
(
1
+
e
r
f
x
−
μ
σ
2
)
{\displaystyle F(x)=\int f(x)dx=\int {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{\frac {-x^{2}}{2}}={\frac {1}{2}}\left(1+{\mathrm {erf} }\,{\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\!}
تابع چگالی احتمال توزیع پواسون برای {1,2,3,...}
k
∈
{\displaystyle k\in }
λ
∈
(
0
,
∞
)
{\displaystyle \lambda \in (0,\infty )}
f
(
x
)
=
e
−
λ
λ
k
k
!
{\displaystyle f(x)={\displaystyle {\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\!}}
F
(
x
)
=
∫
f
(
x
)
d
x
=
∫
e
−
λ
λ
k
k
!
=
Γ
(
k
+
1
,
λ
)
k
!
{\displaystyle F(x)=\int f(x)dx=\int {\displaystyle {\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\!}={\displaystyle {\frac {\Gamma (k+1,\lambda )}{k!}}\!}}
تابع چگالی احتمال توزیع نمایی برای
x
≥
0
{\displaystyle x\geq 0}
f
(
x
)
=
λ
e
−
λ
x
{\displaystyle f(x)=\lambda e^{-\lambda x}}
و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با:
F
(
x
)
=
∫
f
(
x
)
d
x
=
∫
λ
e
−
λ
x
=
1
−
e
−
λ
x
{\displaystyle F(x)=\int f(x)dx=\int \lambda e^{-\lambda x}=1-e^{-\lambda x}}
تابع توزیع تجمعی برایتوزیع احتمال توأم به این صورت تعریف می‌شود:
F
X
1
,
X
2
,
.
.
.
,
X
n
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
.
,
x
n
)
=
P
(
X
1
≤
x
1
,
X
2
≤
x
2
,
.
.
.
,
X
n
≤
x
n
)
{\displaystyle F_{X_{1},X_{2},...,X_{n}}(x_{1},x_{2},....,x_{n})=P(X_{1}\leq x_{1},X_{2}\leq x_{2},...,X_{n}\leq x_{n})}
با این تعریف تابع توزیع تجمعی برای تابع دو متغیره
f
X
Y
(
x
,
y
)
{\displaystyle f_{XY}(x,y)}
F
X
Y
(
x
,
y
)
=
P
(
X
≤
x
,
Y
≤
y
)
{\displaystyle F_{XY}(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y)}
ویژگی‌های این تابع همانند حالت یک متغیره خواهد بود. برخی از این ویژگی‌ها عبارتند از:
0
≤
F
X
1
,
X
2
,
.
.
.
,
X
n
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
.
,
x
n
)
≤
1
{\displaystyle 0\leq F_{X_{1},X_{2},...,X_{n}}(x_{1},x_{2},....,x_{n})\leq 1}
lim
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
→
−
∞
F
X
1
,
X
2
,
.
.
.
,
X
n
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
.
,
x
n
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x_{1},x_{2},...,x_{n}\to -\infty }F_{X_{1},X_{2},...,X_{n}}(x_{1},x_{2},....,x_{n})=0}
lim
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
→
∞
F
X
1
,
X
2
,
.
.
.
,
X
n
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
.
,
x
n
)
=
1
{\displaystyle \lim _{x_{1},x_{2},...,x_{n}\to \infty }F_{X_{1},X_{2},...,X_{n}}(x_{1},x_{2},....,x_{n})=1}
P
(
x
1
<
x
≤
x
2
,
y
1
<
y
≤
y
2
)
=
F
X
Y
(
x
2
,
y
2
)
−
F
X
Y
(
x
1
,
y
2
)
−
F
X
Y
(
x
2
,
y
1
)
+
F
X
Y
(
x
1
,
y
1
)
{\displaystyle P(x_{1}<x\leq x_{2},y_{1}<y\leq y_{2})=F_{XY}(x_{2},y_{2})-F_{XY}(x_{1},y_{2})-F_{XY}(x_{2},y_{1})+F_{XY}(x_{1},y_{1})}
[ ۶]
↑ ۱٫۰ ۱٫۱ ۱٫۲ http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Cumulative_distribution_function&oldid=437556047 ↑ Probability and Statistics in Engineering And Management Science, William W. Hines, Douglas C. Montgomery, Third Edition, John Wiley and Sons, 1990, ISBN 0-471-60090-3 .
↑ Introduction to Probability
Models, Sheldon M. Ross, Tenth Edition
↑ «نسخه آرشیو شده» (PDF) . بایگانی‌شده از اصلی (PDF) در ۳۱ اکتبر ۲۰۱۷. دریافت‌شده در ۲۸ دسامبر ۲۰۱۸ .↑ https://newonlinecourses.science.psu.edu/stat414/node/98/ ↑ https://www.probabilitycourse.com/chapter5/5_2_2_joint_cdf.php 
نمودار تابع توزیع تجمعی برای متغیر تصادفی گسسته
نمودار تابع چگالی احتمال این مثال
نمودار تابع توزیع تجمعی این مثال
نمودار تابع توزیع تجمعی برای توزیع طبیعی استاندارد
نمودار تابع توزیع تجمعی برای چند توزیع دلخواه پواسون
نمودار تابع توزیع تجمعی برای چند توزیع دلخواه نمایی
