مجموعه مندلبرو: تفاوت میان نسخهها
جز ←لید |
|||
خط ۲: | خط ۲: | ||
{{تصویر چندگانه|caption_align=center|header_align= |
{{تصویر چندگانه|caption_align=center|header_align= |
||
<!-- Essential parameters --> |
<!-- Essential parameters --> |
||
| align = |
| align = |
||
| direction = vertical |
| direction = vertical |
||
| background color = #aaaaff |
| background color = #aaaaff |
||
خط ۱۸: | خط ۱۸: | ||
| alt1 = |
| alt1 = |
||
| link1 = |
| link1 = |
||
| caption1 = ماهواره که در مرکز عکس دیده میشود و سیاهرنگ است. (این تصویر بزرگ شده بین «دمهای اسب دریایی» در مجموعه مندلبرو است |
| caption1 = ماهواره که در مرکز عکس دیده میشود و سیاهرنگ است. (این تصویر بزرگ شده بین «دمهای اسب دریایی» در مجموعه مندلبرو است) |
||
<!--image 2--> |
<!--image 2--> |
||
|image2 = Mandel zoom 08 to 09.png |
|image2 = Mandel zoom 08 to 09.png |
||
|width2 = |
|width2 = |
||
|alt2 = |
|alt2 = |
||
|link2 = |
|link2 = |
||
|caption 2 = |
|caption 2 = |
||
<!--image 3--> |
<!--image 3--> |
||
| image3 = Mandel zoom 09 satellite head and shoulder.jpg |
| image3 = Mandel zoom 09 satellite head and shoulder.jpg |
||
خط ۳۲: | خط ۳۱: | ||
| alt3 = |
| alt3 = |
||
| link3 = |
| link3 = |
||
| caption3 = ''دره اسب دریایی''، شکافیست که در تصویر بین به اصطلاح «سر» و «بدنه» ماهواره (دو قسمت بزرگ گرد سیاهرنگ) دیده میشود که در آن الگوهای متعددی شبیه به [[اسب دریایی]] به وجود |
| caption3 = ''دره اسب دریایی''، شکافیست که در تصویر بین به اصطلاح «سر» و «بدنه» ماهواره (دو قسمت بزرگ گرد سیاهرنگ) دیده میشود که در آن الگوهای متعددی شبیه به [[اسب دریایی]] به وجود آمدهاست. |
||
<!-- Footer --> |
<!-- Footer --> |
||
| footer_background = |
| footer_background = |
||
| footer_align = right |
| footer_align = right |
||
| footer = |
| footer = |
||
}} |
}} |
||
مجموعهٔ مندلبرو مجموعهای از نقطهها روی [[صفحه مختلط|صفحهٔ مختلط]] است که یک [[برخال]] (فرکتال) را تشکیل میدهند. این مجموعه به خاطر زیباییاش و نیز به خاطر ساختار پیچیدهای که فقط از چند تعریف سادهٔ [[ریاضی]] ناشی |
مجموعهٔ مندلبرو مجموعهای از نقطهها روی [[صفحه مختلط|صفحهٔ مختلط]] است که یک [[برخال]] (فرکتال) را تشکیل میدهند. این مجموعه به خاطر زیباییاش و نیز به خاطر ساختار پیچیدهای که فقط از چند تعریف سادهٔ [[ریاضی]] ناشی شدهاست، در بیرون از دنیای ریاضیات هم شناخته شدهاست. |
||
== تاریخچه == |
== تاریخچه == |
||
خط ۴۶: | خط ۴۵: | ||
== تعریف == |
== تعریف == |
||
مجموعه مندلبرو <math>M</math>، مرکب از |
مجموعه مندلبرو <math>M</math>، مرکب از «c-مقدارهای» مختلطی ست که دنبالهٔ حاصل از تکرار ترکیب تابع <math>f_c(z)=z^2+c</math> با خودش در نقطهٔ آغازین صفر به بینهایت میل نکند. |
||
[[پرونده:Mandelset_hires.png|بندانگشتی|322px|بخشهای سیاه نمودار، مجموعه مندلبرو در صفحه مختلط است.]] |
[[پرونده:Mandelset_hires.png|بندانگشتی|322px|بخشهای سیاه نمودار، مجموعه مندلبرو در صفحه مختلط است.]] |
||
در آنالیز پویا اصطلاحاً به دنبالهای از نقاط که از تکرار ترکیب یک تابع با خودش به دست میآید '''ابر''' یا '''اربیت''' نقاط تحت آن تابع میگویند. به بیانی دیگر مجموعه مندلبرو مجموعه نقاط اربیتهای بدست آمده تحت تابع <math>z^2+c</math> است که به بینهایت نمیگراید. |
در آنالیز پویا اصطلاحاً به دنبالهای از نقاط که از تکرار ترکیب یک تابع با خودش به دست میآید '''ابر''' یا '''اربیت''' نقاط تحت آن تابع میگویند. به بیانی دیگر مجموعه مندلبرو مجموعه نقاط اربیتهای بدست آمده تحت تابع <math>z^2+c</math> است که به بینهایت نمیگراید. |
||
=== خصوصیات و قضایای مهم === |
=== خصوصیات و قضایای مهم === |
||
* '''قضیه'''(''ملاک میل به بینهایت'' به انگلیسی ''The Escape Criterion''): فرض کنید <math>c</math> عضوی از مجموعه مندلبرو است اگر و تنها اگر اربیت تحت <math>x^2+c</math> از دایرهای به شعاع |
* '''قضیه'''(''ملاک میل به بینهایت'' به انگلیسی ''The Escape Criterion''): فرض کنید <math>c</math> عضوی از مجموعه مندلبرو است اگر و تنها اگر اربیت تحت <math>x^2+c</math> از دایرهای به شعاع ۲ و به مرکز مبدأ خارج نشود. (بیان دیگر به ازای <math>|c|>2</math> اربیت تحت <math>x^2+c</math> به بینهایت میل میکند) |
||
این قضیه نشان میدهد مجموعه مندلبرو کاملاً در داخل دیسک به شعاع |
این قضیه نشان میدهد مجموعه مندلبرو کاملاً در داخل دیسک به شعاع ۲ قرار دارد. |
||
این مجموعه در صفحه مختلط <math>\mathbb C</math> [[فشردگی|فشرده]] است. همچنین دو ریاضیدان به نامهای دوادی و هابارد اثبات کردهاند که این مجموعه در صفحه <math>\mathbb C</math> [[پیوستگی|پیوسته]] است |
این مجموعه در صفحه مختلط <math>\mathbb C</math> [[فشردگی|فشرده]] است. همچنین دو ریاضیدان به نامهای دوادی و هابارد اثبات کردهاند که این مجموعه در صفحه <math>\mathbb C</math> [[پیوستگی|پیوسته]] است |
||
<!-- در این قسمت مطلب ناقصی قرار دارد |
<!-- در این قسمت مطلب ناقصی قرار دارد |
||
== هندسه فرکتالی مجموعه مندلبرو == |
== هندسه فرکتالی مجموعه مندلبرو == |
||
در بررسی دنبالهٔ اربیتال هر نقطه در صفحه |
در بررسی دنبالهٔ اربیتال هر نقطه در صفحه ۳ حال |
||
==== دورهها و حبابها ==== |
==== دورهها و حبابها ==== |
||
==== مجموعه ژولیای کامل ==== |
==== مجموعه ژولیای کامل ==== |
||
== رسم == |
== رسم == |
||
برای رسم کامپیوتری از ''ملاک میل به بینهایت'' استفاده میشود. |
برای رسم کامپیوتری از ''ملاک میل به بینهایت'' استفاده میشود. |
||
====رنگ آمیزی====--> |
==== رنگ آمیزی ====--> |
||
== رنگ آمیزی تصاویر رایانهای == |
== رنگ آمیزی تصاویر رایانهای == |
||
خط ۷۳: | خط ۷۴: | ||
* http://wmi.math.u-szeged.hu/xaos/doku.php |
* http://wmi.math.u-szeged.hu/xaos/doku.php |
||
* http://hypertextbook.com/chaos |
* http://hypertextbook.com/chaos |
||
* [[نظامالدین فقیه]] |
* [[نظامالدین فقیه]]، [[آشوب]] و [[فراکتال]] در [[سیستمهای پویا]] ۹۶۴-۹۴۳۶۷-۱-۵:[[شابک]]<ref>[http://openlibrary.org/works/OL8794833W/Chaos_and_Fractals_in_Dynamic_Systems Chaos and Fractals in Dynamic Systems]</ref> |
||
* [[نظامالدین فقیه]] |
* [[نظامالدین فقیه]]، رموز تحول و توسعه در سیستمهای انسانی (نگرشی نوین) ۹۶۴-۳۵۸-۲۶۵-۵:[[شابک]]<ref>[http://www.rasekhoon.net/books/show-356277.aspx رموز تحول و توسعه در سیستمهای انسانی (نگرشی نوین)]</ref><ref>[http://openlibrary.org/works/OL8794848W/A_Modern_Cryptography_of_Change_and_Development_in_Human_Systems A Modern Cryptography of Change and Development in Human Systems]</ref> |
||
== پانویس == |
== پانویس == |
||
خط ۸۹: | خط ۹۰: | ||
== جستارهای وابسته == |
== جستارهای وابسته == |
||
* [[بودابروت]] |
* [[بودابروت]] |
||
== پیوند به بیرون == |
== پیوند به بیرون == |
||
* [http://mandelbrotset.sellit.pl Mandelbrot Set - Online Generator] |
* [http://mandelbrotset.sellit.pl/ Mandelbrot Set - Online Generator] |
||
* نرمافزار [[متن باز]] [http://xaos.sourceforge.net XaoS] |
* نرمافزار [[متن باز]] [http://xaos.sourceforge.net/ XaoS] |
||
* نرمافزار هوش مصنوعی [http://illusions.hu/index.php?lang=4&task=16&type=1&category=0 IFS Illusions] |
* نرمافزار هوش مصنوعی [http://illusions.hu/index.php?lang=4&task=16&type=1&category=0 IFS Illusions] |
||
* گاهنامه ریاضی شمار - [http://hupaa.com/Data/pdf/shomar/Hupaa_Shomar_02.pdf الگوریتم مندلبروت] |
* گاهنامه ریاضی شمار - [http://hupaa.com/Data/pdf/shomar/Hupaa_Shomar_02.pdf الگوریتم مندلبروت] |
نسخهٔ ۱۹ ژوئیهٔ ۲۰۱۸، ساعت ۲۰:۳۲
مجموعهٔ مندلبرو مجموعهای از نقطهها روی صفحهٔ مختلط است که یک برخال (فرکتال) را تشکیل میدهند. این مجموعه به خاطر زیباییاش و نیز به خاطر ساختار پیچیدهای که فقط از چند تعریف سادهٔ ریاضی ناشی شدهاست، در بیرون از دنیای ریاضیات هم شناخته شدهاست.
تاریخچه
مجموعهٔ مندلبرو (به انگلیسی: Mandelbrot set) اولین بار توسط یک ریاضیدان فرانسوی به نام پیر فاتو که در زمینه آنالیز مختلط پویا فعالیت میکرد در سال ۱۹۰۵ تعریف شد. فاتو در آن زمان به کامپیوتر مستعد برای ترسیم این تابع دسترسی نداشت و با وجود محاسبات زیاد نتوانست اشکالی را که ما امروزه میبینیم ببیند. همزمان ریاضیدان دیگری به نام ژولیا روی توابع گویا روی صفحهٔ اعداد مختلط کار میکرد. امروز مجموعههای ژولیا از شکلهای معروف فرکتالی است. این مباحث به صورت موضوعاتی پراکنده مطرح بودند تا این که بنوا مندلبرو در سال ۱۹۷۹ با انتشار مقالهٔ Fractals: Form, chance and dimension مباحث فوق و بسیاری از مباحث دیگر را تحت عنوان هندسه فرکتالی جمعبندی و عرضه کرد و با انتشار کتاب هندسه فرکتالی طبیعت توسط مندلبرو عملاً شکوفایی هندسهٔ فرکتالی آغاز شد.
تعریف
مجموعه مندلبرو ، مرکب از «c-مقدارهای» مختلطی ست که دنبالهٔ حاصل از تکرار ترکیب تابع با خودش در نقطهٔ آغازین صفر به بینهایت میل نکند.
در آنالیز پویا اصطلاحاً به دنبالهای از نقاط که از تکرار ترکیب یک تابع با خودش به دست میآید ابر یا اربیت نقاط تحت آن تابع میگویند. به بیانی دیگر مجموعه مندلبرو مجموعه نقاط اربیتهای بدست آمده تحت تابع است که به بینهایت نمیگراید.
خصوصیات و قضایای مهم
- قضیه(ملاک میل به بینهایت به انگلیسی The Escape Criterion): فرض کنید عضوی از مجموعه مندلبرو است اگر و تنها اگر اربیت تحت از دایرهای به شعاع ۲ و به مرکز مبدأ خارج نشود. (بیان دیگر به ازای اربیت تحت به بینهایت میل میکند)
این قضیه نشان میدهد مجموعه مندلبرو کاملاً در داخل دیسک به شعاع ۲ قرار دارد.
این مجموعه در صفحه مختلط فشرده است. همچنین دو ریاضیدان به نامهای دوادی و هابارد اثبات کردهاند که این مجموعه در صفحه پیوسته است
رنگ آمیزی تصاویر رایانهای
برای خلق آثار زیبای بصری رایانهای از این فرکتال، از رنگآمیزیهای مختلف استفاده میشود و اساس آن مرتبهٔ تکرار (iteration) است به طوری که در هر تکرار در صورت تشخیص خارج بودن نقاط از مجموعه به آن نقاط رنگ مربوط به مرتبه تکرار تعلق میگیرد. به این ترتیب تصاویر رنگی به وجود میآید.
منابع
- http://math.bu.edu/DYSYS/FRACGEOM
- http://wmi.math.u-szeged.hu/xaos/doku.php
- http://hypertextbook.com/chaos
- نظامالدین فقیه، آشوب و فراکتال در سیستمهای پویا ۹۶۴-۹۴۳۶۷-۱-۵:شابک[۱]
- نظامالدین فقیه، رموز تحول و توسعه در سیستمهای انسانی (نگرشی نوین) ۹۶۴-۳۵۸-۲۶۵-۵:شابک[۲][۳]
پانویس
نگارخانه
جستارهای وابسته
پیوند به بیرون
- Mandelbrot Set - Online Generator
- نرمافزار متن باز XaoS
- نرمافزار هوش مصنوعی IFS Illusions
- گاهنامه ریاضی شمار - الگوریتم مندلبروت
در ویکیانبار پروندههایی دربارهٔ مجموعه مندلبرو موجود است. |