تابع توزیع تجمعی

تابع توزیع تجمعی برای توزیع نرمال .

تابع چگالی احتمال برای چند توزیع نرمال، نمودار قرمز رنگ مربوط به توزیع نرمال استاندارد است ..

تابع توزیع تجمعی تابعی است غیر صفر و هم نوای صعودی که برد آن بازه [۰٫۱] بوده و احتمال آنکه متغیر تصادفی X دارای مقداری کوچک‌تر از x باشد را نشان می‌دهد، یعنی:

$x\to F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)$

از این تعریف می‌توان نتیجه گرفت که

$P(a<X\leq b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)$

تابع توزیع تجمعی را می‌توان به صورت زیر بر اساس تابع چگالی احتمال نیز تعریف کرد

$F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt.$

در مورد متغیرهای تصادفی با مقادیر گسسته این تعریف به صورت زیر است:

$\Pr(X=x)=F(x_{0})-F(x_{0}-),$ که در اینجا $F(x_{0}-)$ به معنی حد چپ تابع $F_{X}(x)$ است وقتی که $x$ به $x_{0}$ میل می‌کند

خواص تابع توزیع تجمعی

تمام توابع توزیع تجمعی صعودی (ولی نه لزوماً صعودی اکید) و از راست پیوسته هستند.

$\lim _{x\to -\infty }F(x)=0,\quad \lim _{x\to +\infty }F(x)=1.$