قضیه مقدار کرانی

در حسابان، قضیهٔ مقدار کرانی یا قضیهٔ مقدار فرین بیان می‌کند که اگر یک تابع با مقادیر حقیقی $f$ در بازهٔ بسته و ناتهی $[a,b]$ ، پیوسته باشد، این تابع، یعنی $f$ ، اقلاً یکبار به مقادیر حداکثر و حداقل دست می‌یابد؛ یعنی در بازهٔ $[a,b]$ ، اعدادی مانند $c$ و $d$ هستند به طوری که:

f(c)\geq f(x)\geq f(d)\quad \forall x\in [a,b]

قضیه مقدار کرانی از قضیهٔ کرانه‌داری گویاتر است. این قضیه صرفاً بیان می‌کند که یک تابع پیوسته $f$ در بازهٔ بسته $[a,b]$ تابعی کران‌دار است؛ یعنی اعداد حقیقی همچون $m$ و $M$ وجود دارد به طوری که:

m\leq f(x)\leq M\quad \forall x\in [a,b]

.

چنین قضیه‌ای نمی‌گوید $M$ و $m$ لزوماً مقادیر حداکثر و حداقل $f$ در فاصله $[a,b],$ هستند؛ که این همان چیزی است که قضیه مقدار کرانی تصریح می‌کند، باید باشد.

توابعی که قضیه در مورد آن‌ها صدق نمی‌کند

مثال‌های زیر نشان می‌دهند که چرا دامنه تابع باید بسته و محدود باشد تا قضیه اعمال شود. هر کدام از آن‌ها در بازهٔ مشخص شده به حداکثر نمی‌رسند.

$f(x)=x$ تعریف شده‌است $[0,\infty )$ از بالا کران‌دار نمی‌شود.
$f(x)={\frac {x}{1+x}}$ تعریف شده‌است $[0,\infty )$ کران‌دار است اما به حداقل حد بالایی خود $1$ نمی‌رسد.
$f(x)={\frac {1}{x}}$ تعریف شده‌است $(0,1]$ از بالا کران‌دار نمی‌شود.
$f(x)=1-x$ تعریف شده‌است $(0,1]$ کران‌دار است اما هرگز به حداقل حد بالایی خود $1$ نمی‌رسد.