پرش به محتوا

حد معکوس

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

در ریاضیات، حد معکوس (به انگلیسی: Inverse Limit) (به آن حد تصویری هم می‌گویند) ساختاریست که امکان «به هم چسباندن» چندین شیء به هم مرتبط را فراهم می‌آورد، این به هم چسباندن به طور دقیق توسط ریخت بین اشیاء مد نظر تعیین می‌گردد. حد معکوس را می‌توان در هر رسته تعریف کرد و این حد مورد خاصی از مفهوم عام‌تر حد در نظریه رسته‌هاست.

تعریف صوری

[ویرایش]

اشیاء جبری

[ویرایش]

ما با تعریف یک دستگاه معکوس (یا دستگاه تصویری) از گروه‌ها و هم‌ریختی‌هایشان شروع می‌کنیم. فرض کنید مجموعه مرتب جزئی جهت داری باشد (همه مؤلفان جهت‌دار بودن را الزامی نمی‌دانند). فرض کنید خانواده ای از گروه‌ها باشد و فرض کنید که برای تمام ها خانواده ای از هم‌ریختی‌ها چون داشته باشیم که به آن نگاشت های پیوندی (یا اتصال دهنده) گویند، به طوری که خواص زیر را دارا باشند:

  1. روی همانی باشد.
  2. برای تمام داشته باشیم .

آنگاه دوتایی را دستگاه معکوس گروه‌ها و ریخت‌ها روی گفته و ریخت‌های را ریخت‌های انتقالی این دستگاه گویند.

ما حد معکوس دستگاه معکوس را به صورت زیرگروه خاصی از ضرب مستقیم ها تعریف می کنیم:

حد معکوس مجهز به نگاشت‌های تصویر (افکنش) طبیعی است. این نگاشت‌ها مؤلفه ام ضرب مستقیم را برای هر در انتخاب می کنند. حد معکوس و تصویرهای طبیعی در یک خاصیت جهانی که در بخش بعدی توصیف می گردد صدق می کنند.

همین سازه را می توان در شرایطی که ها مجموعه،[۱] نیم‌گروه،[۱] فضاهای توپولوژیکی،[۱] حلقه، مدول (بر روی یک حلقه معین)، جبر (روی یک حلقه) و ... باشند و ریخت‌ها نیز در رسته‌های متناظر هر کدام هم‌ریختی باشند هم اعمال کرد. در این صورت حد معکوس این رسته‌ها نیز به هر رسته مربوطه متعلق خواهد بود.

یادداشت‌ها

[ویرایش]
  1. ۱٫۰ ۱٫۱ ۱٫۲ John Rhodes & Benjamin Steinberg. The q-theory of Finite Semigroups. p. 133. شابک ‎۹۷۸−۰−۳۸۷−۰۹۷۸۰−۰.

منابع

[ویرایش]
  • Bourbaki, Nicolas (1989), Algebra I, Springer, ISBN 978-3-540-64243-5, OCLC 40551484
  • Bourbaki, Nicolas (1989), General topology: Chapters 1-4, Springer, ISBN 978-3-540-64241-1, OCLC 40551485
  • Mac Lane, Saunders (September 1998), Categories for the Working Mathematician (2nd ed.), Springer, ISBN 0-387-98403-8
  • Mitchell, Barry (1972), "Rings with several objects", Advances in Mathematics, 8: 1–161, doi:10.1016/0001-8708(72)90002-3, MR 0294454
  • Neeman, Amnon (2002), "A counterexample to a 1961 "theorem" in homological algebra (with appendix by Pierre Deligne)", Inventiones Mathematicae, 148 (2): 397–420, doi:10.1007/s002220100197, MR 1906154
  • Roos, Jan-Erik (1961), "Sur les foncteurs dérivés de lim. Applications", C. R. Acad. Sci. Paris, 252: 3702–3704, MR 0132091
  • Roos, Jan-Erik (2006), "Derived functors of inverse limits revisited", J. London Math. Soc., Series 2, 73 (1): 65–83, doi:10.1112/S0024610705022416, MR 2197371
  • Section 3.5 of Weibel, Charles A. (1994). An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. MR 1269324. OCLC 36131259.