تابع منگولد

در ریاضیات، تابع منگلولد نوعی تابع حسابی است که به افتخار ریاضیدان آلمانی هانس ون منگلولد نامیده شد. این تابع، مثالی از توابع حسابی است که نه ضربی و نه جمعی می باشد.

تعریف

تابع منگلولد را با نماد $\Lambda (n)$ نشان می‌دهند و به شکل زیر تعریف می‌شود.

$\Lambda (n)={\begin{cases}\ln p&{\mbox{if }}n=p^{k}{\mbox{ for some prime }}p{\mbox{ and integer }}k\geq 1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}$

مقادیر $\Lambda (n)$ برای نه تا از اولین اعداد صحیح مثبت (یعنی اعداد طبیعی) بدین صورت است:

$0,\log 2,\log 3,\log 2,\log 5,0,\log 7,\log 2,\log 3,$

که مرتبط با (دنباله A014963 در OEIS) است.

تابع جمع منگلد $\psi$، که به آن تابع چبیشف دوم هم می گویند به این صورت تعریف می شود:

$\psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n).$

فون منگولد اثبات استواری برای فرمول دقیق $\psi (x)$ مربوط به جمع صفرهای نابدیهی تابع زتای ریمان ارائه نود. این دستاورد بخش مهمی از اولین اثبات قضیه اعداد اول بود.

خواص

برای تابع منگولد اتحاد زیر برقرار است:

$\log(n)=\sum _{d\mid n}\Lambda (d).$

جمع روی کل اعداد صحیح $d$ که $n$ را می شمارند گرفته شده است. این اتحاد توسط قضیه بنیادی حساب اثابت شده است، چرا که جملاتی که توان‌هایی از اعداد اول نیستند برابر صفر است. به عنوان مثال، حالتی که $n=12=2^{2}\times 3$ را در نظر بگیرید. آنگاه:

${\begin{aligned}\sum _{d\mid 12}\Lambda (d)&=\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda (4)+\Lambda (6)+\Lambda (12)\\&=\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda \left(2^{2}\right)+\Lambda (2\times 3)+\Lambda \left(2^{2}\times 3\right)\\&=0+\log(2)+\log(3)+\log(2)+0+0\\&=\log(2\times 3\times 2)\\&=\log(12).\end{aligned}}$

براساس معکوس گیری موبیوس داریم:

$\Lambda (n)=-\sum _{d\mid n}\mu (d)\log(d)\ .$

منابع

• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. (2008) [1938]. Heath-Brown, D. R.; Silverman, J. H. (eds.). An Introduction to the Theory of Numbers (6th ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921985-8. MR 2445243. Zbl 1159.11001.
• Tenebaum, Gérald (1995). Introduction to analytic and probabilistic number theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 46. Translated by C.B. Thomas. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-41261-7. Zbl 0831.11001.

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Von Mangoldt Function». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.