از ویکیپدیا، دانشنامهٔ آزاد
در ریاضیات مقدار اصلی کوشی (به انگلیسی : Cauchy principal value ) که به نام آگوستین لویی کوشی نامگذاری شدهاست روشی برای مقدار دادن به انتگرالهای ناسرهای که مقدار ندارند.
بسته به نوع تکینگی در انتگرالده f , مقدار اصلی کوشی به یکی از شکلهای زیر تعریف میشود.:
lim
ε
→
0
+
[
∫
a
b
−
ε
f
(
x
)
d
x
+
∫
b
+
ε
c
f
(
x
)
d
x
]
{\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0+}\left[\int _{a}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{b+\varepsilon }^{c}f(x)\,\mathrm {d} x\right]}
که در آن b نقطهای است که رفتار تابع f بدینگونه است
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
±
∞
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=\pm \infty }
که برای هر a < b و
∫
b
c
f
(
x
)
d
x
=
∓
∞
{\displaystyle \int _{b}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x=\mp \infty }
و برای هر c > b
یا
lim
a
→
∞
∫
−
a
a
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \lim _{a\rightarrow \infty }\int _{-a}^{a}f(x)\,\mathrm {d} x}
که
∫
−
∞
0
f
(
x
)
d
x
=
±
∞
{\displaystyle \int _{-\infty }^{0}f(x)\,\mathrm {d} x=\pm \infty }
و
∫
0
∞
f
(
x
)
d
x
=
∓
∞
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x=\mp \infty }
در بعضی موارد نیاز است که این دو حالت هر دو با هم بر انتگرال اثر داده شوند.
lim
ε
→
0
+
[
∫
b
−
1
ε
b
−
ε
f
(
x
)
d
x
+
∫
b
+
ε
b
+
1
ε
f
(
x
)
d
x
]
.
{\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0+}\left[\int _{b-{\frac {1}{\varepsilon }}}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{b+\varepsilon }^{b+{\frac {1}{\varepsilon }}}f(x)\,\mathrm {d} x\right].}
جستارهای وابسته [ ویرایش ]