نوار برشی

نوار برشی (یا به‌طور کلی، "محلی سازی کرنش") یک منطقه باریک از کرنش شدید برشی است که معمولاً از نوع پلاستیکی است؛ که در هنگام تغییر شکل شدید مواد شکل‌پذیر ایجاد می‌شود. به عنوان مثال، نمونه ای از خاک (خاک رس سیلتی با ترکیب بیش از جامد) پس از آزمون فشرده سازی متقارن محوری در شکل ۱ نشان داده شده‌است. در ابتدا نمونه به شکل استوانه ای بود و از آنجا که سعی شده تا تقارن در طول آزمایش حفظ شود، شکل استوانه برای مدتی در طول آزمایش حفظ شده و تغییر شکل به صورت یکدست بود، اما در بارگذاری شدید دو باند برشی X شکل تشکیل شده‌است و تغییر شکل بعد از آن به شدت محلی شده‌است (همچنین به طرح سمت راست شکل ۱ نگاه کنید).

موادی که در آنها نوارهای برشی مشاهده می‌شود[ویرایش]

اگرچه نوارهای برشی در مواد شکننده (به عنوان مثال شیشه در دمای اتاق) قابل مشاهده نیست، اما نوارهای برشی یا به‌طور کلی، «تغییر شکل‌های موضعی» معمولاً در طیف وسیعی از مواد شکل‌پذیر (آلیاژها، فلزات، مواد تک کریستال، پلاستیک‌ها، پلیمرها و خاک) ایجاد می‌شوند؛ و حتی در برخی مواد نیمه شکننده (بتن، یخ، سنگ و برخی سرامیک‌ها) نیز مشاهده می‌شوند. اهمیت پدیده‌های نوار برشی این است که آنها قبل از شکست ماده رخ می‌دهند، زیرا تغییر شکل شدید در نوارهای برشی منجر به آسیب شدید و شکستگی می‌شود؛ بنابراین، تشکیل نوارهای برشی کلید درک درستی از شکست در مواد شکل‌پذیر یا داکتیل است و یک موضوع تحقیقاتی مهم برای طراحی مواد جدید و بهره‌برداری از مواد موجود در شرایط می‌باشد. همچنین، محلی سازی تغییر شکل از اواسط قرن بیستم کانون یک فعالیت تحقیقاتی شدید بوده‌است.

مدل‌سازی ریاضی[ویرایش]

تشکیل باند برشی مثالی از بی‌ثباتی مواد است که مربوط به از دست دادن ناگهانی همگنی تغییر شکل در یک نمونه جامد است که با یک مسیر بارگیری سازگار با تغییر شکل یکنواخت ادامه دارد. از این نظر، ممکن است به عنوان یک مکانیزم تغییر شکل «جایگزین» باشد و در نتیجه انشعاب یا از دست دادن منحصر به فرد بودن یک مسیر تعادل «کامل» تفسیر شود. ویژگی بارز این انشعاب این است که ممکن است حتی در جسمی نامحدود (یا در محدودیت شدید تماس صاف با یک محدودیت سخت) رخ دهد.

جسمی بی‌نهایت را در تصور کیند که از ماده ای غیرخطی تشکیل شده‌است، به طوریکه از نظر آماری تغییر شکل داده‌است و به گونه ای که استرس و فشار ممکن است همگن باقی بمانند. پاسخ افزایشی این جسم غیرخطی برای سادگی خطی فرض می‌کنیم، بنابراین می‌توان آن را به عنوان رابطه ای بین افزایش تنش ب ${\dot {\sigma }}$ و یک افزایش کرنش ${\dot {\varepsilon }}$ بیان کرد، از طریق یک تانسور سازنده مرتبه چهارم $\mathbb {C}$ مانند

{\dot {\sigma }}=\mathbb {C} {\dot {\varepsilon }},\qquad {(1)}

که در آن تانسور سازنده از مرتبه چهارم است. پارامتر $\mathbb {C}$ به یعنی تنش فعلی، فشار فعلی و احتمالاً سایر پارامترهای مواد تشکیل دهنده بستگی دارد (به عنوان مثال، متغیرهای سخت‌کننده برای فلزات یا تراکم برای مواد دانه ای).

برای پیدایش سطح ناپیوستگی (بردار واحد طبیعی ${\textbf {n}}$ ) شرایطی در فشار و فشار افزایشی جستجو می‌شود. این شرایط با وقوع محلی سازی تغییر شکل شناسایی می‌شوند. به‌طور خاص، تعادل افزایشی مستلزم آن است که کشش‌های افزایشی (نه تنش‌ها) مداوم بمانند.

{\dot {\sigma }}^{+}{\textbf {n}}={\dot {\sigma }}^{-}{\textbf {n}},\qquad {(2)}

(در رابطهٔ بالا + و - نشانگر دو طرف سطح هستند) و هندسهٔ شکل محدودیت سازگاری کرنش را به شکل کرنش افزایشی اعمال می‌کند:

{\dot {\varepsilon }}^{+}-{\dot {\varepsilon }}^{-}={\frac {1}{2}}\left({\textbf {g}}\otimes {\textbf {n}}+{\textbf {n}}\otimes {\textbf {g}}\right),\qquad {(3)}

که در آن نماد $\otimes$ نشانگر محصول تانسور و ${\textbf {g}}$ برداری است که حالت ناپیوستگی تغییر شکل را تعریف می‌کند (متعامد به ${\textbf {n}}$ برای مواد غیرقابل انعطاف) جایگذاری قانون سازنده افزایشی (۱) و سازگاری کرنش (۳) در تداوم کشش‌های افزایشی (۲) شرط لازم را برای محلی سازی کرنش ایجاد می‌کند که به شرح زیر است:

\mathbb {C} \left({\textbf {g}}\otimes {\textbf {n}}\right){\textbf {n}}=0.\qquad {(4)}

از آنجایی که تانسور مرتبه دوم $\mathbb {A} ({\textbf {n}})$ برای هر بردار ${\textbf {g}}$ تعریف شده‌است:

\mathbb {A} ({\textbf {n}}){\textbf {g}}=\mathbb {C} \left({\textbf {g}}\otimes {\textbf {n}}\right){\textbf {n}}

رابطهٔ بالا به اصطلاح «تانسور صوتی» است، که شرایط انتشار امواج شتاب را تعریف می‌کند، می‌توان نتیجه گرفت که شرایط محلی سازی کرنش با شرایط تکینکی (انتشار با سرعت null) موج شتاب همزمان است. این شرط نشان دهنده اصطلاح «از بین رفتن بیضوی» برای معادلات دیفرانسیل حاکم بر تعادل نرخ است.

بهترین تحقیقات ارایه شده[ویرایش]

پیشرفته‌ترین تحقیق در مورد نوارهای برشی این است که این پدیده از نظر تیوری^[۱]^[۲]^[۳]^[۴]^[۵]^[۶]^[۷]^[۸]^[۹]^[۱۰] به خوبی قابل درک است.^[۱۱] و از نظر تجربی^[۱۲]^[۱۳]^[۱۴]^[۱۵] و مدل‌های موجود موجود پیش‌بینی‌های کیفی خوبی را می‌توان ارائه داد، اگرچه پیش‌بینی‌های عددی و کمی اغلب ضعیف هستند.^[۱۶] علاوه بر این، پیشرفت‌های زیادی در شبیه‌سازی‌های عددی حاصل شده‌است،^[۱۷]^[۱۸]^[۱۹]^[۲۰] به طوری که هسته و انتشار نوارهای برشی در شرایط نسبتاً پیچیده را نیز می‌توان با مدل‌های اجزای محدود به صورت عددی ردیابی کرد، اگرچه هنوز هم محاسبات سنگین و هزینه بری نیاز دارد. برای درخواست‌های پیشرفته تر شبیه‌سازی‌هایی هست که وابستگی جهت‌گیری کریستالوگرافی از نوار برشی در تک بلورها و پلی کریستال‌ها را نشان می‌دهد. این شبیه‌سازی‌ها نشان می‌دهند که جهت‌گیری‌های خاص بیش از سایر جهت‌گیری‌ها مستعد انجام محلی سازی برشی هستند.^[۲۱]

نوار برشی و بررسی بافت کریستالوگرافی آن[ویرایش]

بیشتر فلزات و آلیاژهای پلی کریستالی معمولاً از طریق برشی که در اثر نابجایی، دوقلویی‌ها یا باندهای برشی ایجاد می‌شود، تغییر شکل می‌دهند. این امر منجر به ناهمسانگردی پلاستیکی در مقیاس دانه و توزیع جهت دانه ترجیحی، یعنی بافتهای کریستالوگرافی می‌شود. نورد سرد بافت اکثر فلزات مکعبی (کیوبیک) و آلیاژهای FCC به‌طور مثال دو نوع هستند، یعنی بافت از نوع برنجی و بافت از نوع مس. انرژی گسل انباشته نقش مهمی در مکانیسم‌های غالب تغییر شکل پلاستیک و بافت‌های حاصل شونده دارد. برای آلومینیوم و سایر مواد FCC با SFE بالا، سر خوردن دررفتگی مکانیسم اصلی در هنگام نورد سرد است و اجزای بافت {۱۱۲} <۱۱۱> (مس) و {123} <634> (S) (بافت از نوع مس) ساخته شده‌اند. در مقابل، در Cu-30 wt. n Zn (آلفا برنج) و فلزات و آلیاژهای مرتبط با SFE کم، دوقلوی مکانیکی و نوارهای برشی همراه با سر خوردن نابجایی به عنوان حامل‌های اصلی تغییر شکل، به ویژه در تغییر شکل‌های بزرگ پلاستیکی، رخ می‌دهد. بافت‌های نورد حاصل توسط بافت {۰۱۱} <۲۱۱> (برنجی) و {۰۱ ۱} <۱۰۰> (گاس) (بافت از نوع برنجی) مشخص می‌شوند. در هر دو حالت نوار برشی غیر کریستالوگرافی برای نوع خاصی از بافت تغییر شکل یافته نقش اساسی ایفا می‌کند.^[۲۲]^[۲۳]

یک رویکرد آشفته برای تحلیل ظهور باند برشی[ویرایش]

راه حل‌های فرم بسته که ظهور باند برشی را نشان می‌دهد را می‌توان از طریق رویکرد اغتشاش به دست آورد،^[۲۴]^[۲۵] که متشکل از روی هم قرار دادن یک زمینهٔ آشفتگی بر یک حالت تغییر شکل ناآرام می‌باشد. به‌طور خاص تر، یک ماده الاستیک بینهایت، غیرقابل فشرده کردن و غیرخطی، که تحت شرایط کرنش هواپیما تغییر شکل می‌یابد، می‌تواند از طریق برهم زدن نیروهای متمرکز یا وجود ترک‌ها یا اجزا خط صلب و سخت، آشفته شود.

این امر ثابت شده‌است که، هنگامی که وضعیت آشفته نزدیک به شرایط محلی سازی می‌شود (۴)، زمینه‌های آشفته خود را به صورت زمینه‌های محلی تنظیم کرده و مقادیر زیادی را در محله اغتشاش معرفی می‌کنند و در امتداد نوارهای برشی در جهت‌های خاص متمرکز می‌شوند. به‌طور خاص، در مورد ترک‌ها و اجزا خط صلب ، چنین نوارهای برشی از نوک‌های درج خطی خارج می‌شوند.^[۲۶]

در روش اغتشاش یا اشتفتگی، یک مدل افزایشی برای یک باند برشی با طول محدود معرفی شده‌است^[۲۷] که شرایط زیر را در امتداد سطح آن تجویز می‌کند:

کشش‌های برشی اسمی افزایشی پوچ؛
متداوم بودن کشش نرمال اسمی افزایشی؛
متداوم بودن جابجایی افزایشی طبیعی.

با استفاده از این مدل، ویژگی‌های اصلی زیر در باند برشی به صورت زیر نشان داده شده‌است:

به‌طور مشابه مکانیک شکستگی، یکتایی به صورت تک ریشه مربعی در زمینه‌های تنش یا تغییر شکل در نوک‌های باند برشی ایجاد می‌شود.
در حضور یک باند برشی، میدان کرنش محلی سازی شده و در جهت موازی با باند برشی به شدت متمرکز خواهد شد.
از آنجا که سرعت آزادسازی انرژی مرتبط با رشد باند برشی در نزدیکی شرایط محلی سازی به بی‌نهایت میل می‌کند (۴)، نوارهای برشی حالت‌های شکست ترجیحی را نشان می‌دهند.

جستارهای وابسته[ویرایش]

فلز آمورف
تغییر شکل (مهندسی)
تست برش سه محوری

منابع[ویرایش]

↑ Bigoni, D. Nonlinear Solid Mechanics: Bifurcation Theory and Material Instability. Cambridge University Press, 2012. شابک ‎۹۷۸۱۱۰۷۰۲۵۴۱۷.
↑ Bigoni, Davide; Hueckel, Tomasz (1991). "Uniqueness and localization—I. Associative and non-associative elastoplasticity". International Journal of Solids and Structures. Elsevier BV. 28 (2): 197–213. doi:10.1016/0020-7683(91)90205-t. ISSN 0020-7683.
↑ Biot, M.A. (1965) Mechanics of incremental deformations. New York, Wiley.
↑ Hill, R. (1962). "Acceleration waves in solids". Journal of the Mechanics and Physics of Solids. Elsevier BV. 10 (1): 1–16. doi:10.1016/0022-5096(62)90024-8. ISSN 0022-5096.
↑ Mandel, J. (1962) Ondes plastiques dans un milieu indéfini à trois dimensions. J. de Mécanique 1, 3-30.
↑ Nadai, A. (1950) Theory of flow and fracture of solids. McGraw-Hill, New York.
↑ Rice, J. R. (1977) The localization of plastic deformation. In Koiter, W.T., ed., Theoretical and Applied Mechanics. Amsterdam, North-Holland. 207-220.
↑ Rudnicki, J.W.; Rice, J.R. (1975). "Conditions for the localization of deformation in pressure-sensitive dilatant materials" (PDF). Journal of the Mechanics and Physics of Solids. Elsevier BV. 23 (6): 371–394. doi:10.1016/0022-5096(75)90001-0. ISSN 0022-5096.
↑ Thomas, T.Y. (1961) Plastic flows and fracture of solids. Academic Press, New York.
↑ Rudnicki, J.W.; Rice, J.R. (1975). "Conditions for the localization of deformation in pressure-sensitive dilatant materials" (PDF). Journal of the Mechanics and Physics of Solids. Elsevier BV. 23 (6): 371–394. doi:10.1016/0022-5096(75)90001-0. ISSN 0022-5096.
↑ Thomas, T.Y. (1961) Plastic flows and fracture of solids. Academic Press, New York.
↑ Desrues, J.; Lanier, J.; Stutz, P. (1985). "Localization of the deformation in tests on sand sample". Engineering Fracture Mechanics. Elsevier BV. 21 (4): 909–921. doi:10.1016/0013-7944(85)90097-9. ISSN 0013-7944.
↑ Knodel, PC; Drescher, A; Vardoulakis, I; Han, C (1990). "A Biaxial Apparatus for Testing Soils". Geotechnical Testing Journal. ASTM International. 13 (3): 226-234. doi:10.1520/gtj10161j. ISSN 0149-6115.
↑ Poirier, C.; Ammi, M.; Bideau, D.; Troadec, J. P. (1992-01-13). "Experimental study of the geometrical effects in the localization of deformation". Physical Review Letters. American Physical Society (APS). 68 (2): 216–219. doi:10.1103/physrevlett.68.216. ISSN 0031-9007.
↑ Vardoulakis, I. (1983). "Rigid granular plasticity model and bifurcation in the triaxial test". Acta Mechanica. Springer Science and Business Media LLC. 49 (1–2): 57–79. doi:10.1007/bf01181755. ISSN 0001-5970.
↑ «Gajo, A., Bigoni, D. and Muir Wood, D. (2004) Multiple shear band development and related instabilities in granular materials. J. Mech. Phys. Solids 52, 2683-2724». بایگانی‌شده از اصلی در ۱۸ اوت ۲۰۲۰. دریافت‌شده در ۲۶ ژانویه ۲۰۲۱.
↑ Leroy, Y.; Ortiz, M. (1990). "Finite element analysis of transient strain localization phenomena in frictional solids". International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics. Wiley. 14 (2): 93–124. doi:10.1002/nag.1610140203. ISSN 0363-9061.
↑ Nacar, A.; Needleman, A.; Ortiz, M. (1989). "A finite element method for analyzing localization in rate dependent solids at finite strains". Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. Elsevier BV. 73 (3): 235–258. doi:10.1016/0045-7825(89)90067-4. ISSN 0045-7825.
↑ Petryk, H.; Thermann, K. (2002). "Post-critical plastic deformation in incrementally nonlinear materials". Journal of the Mechanics and Physics of Solids. Elsevier BV. 50 (5): 925–954. doi:10.1016/s0022-5096(01)00131-4. ISSN 0022-5096.
↑ Loret, Benjamin; Prevost, Jean H. (1990). "Dynamic strain localization in elasto-(visco-)plastic solids, Part 1. General formulation and one-dimensional examples". Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. Elsevier BV. 83 (3): 247–273. doi:10.1016/0045-7825(90)90073-u. ISSN 0045-7825.
↑ Jia, N.; Roters, F.; Eisenlohr, P.; Kords, C.; Raabe, D. (2012). "Non-crystallographic shear banding in crystal plasticity FEM simulations: Example of texture evolution in α-brass". Acta Materialia. Elsevier BV. 60 (3): 1099–1115. doi:10.1016/j.actamat.2011.10.047. ISSN 1359-6454.
↑ Jia, N.; Roters, F.; Eisenlohr, P.; Raabe, D.; Zhao, X. (2013). "Simulation of shear banding in heterophase co-deformation: Example of plane strain compressed Cu–Ag and Cu–Nb metal matrix composites". Acta Materialia. Elsevier BV. 61 (12): 4591–4606. doi:10.1016/j.actamat.2013.04.029. ISSN 1359-6454.
↑ Jia, N.; Eisenlohr, P.; Roters, F.; Raabe, D.; Zhao, X. (2012). "Orientation dependence of shear banding in face-centered-cubic single crystals". Acta Materialia. Elsevier BV. 60 (8): 3415–3434. doi:10.1016/j.actamat.2012.03.005. ISSN 1359-6454.
↑ «Bigoni, D. and Capuani, D. (2002) Green's function for incremental nonlinear elasticity: shear bands and boundary integral formulation. Journ. Mech. Phys. Sol. 50, 471-500». بایگانی‌شده از اصلی در ۱۸ اوت ۲۰۲۰. دریافت‌شده در ۲۶ ژانویه ۲۰۲۱.
↑ «Bigoni, D. and Capuani, D. (2005) Time-harmonic Green's function and boundary integral formulation for incremental nonlinear elasticity: dynamics of wave patterns and shear bands. Journ. Mech. Phys. Sol. 53, 1163-1187». بایگانی‌شده از اصلی در ۱۸ اوت ۲۰۲۰. دریافت‌شده در ۲۶ ژانویه ۲۰۲۱.
↑ «Dal Corso F. and Bigoni D. (2009) The interactions between shear bands and rigid lamellar inclusions in a ductile metal matrix. Proc. R. Soc. Lond. A, 465, 143-163». بایگانی‌شده از اصلی در ۱۸ اوت ۲۰۲۰. دریافت‌شده در ۲۶ ژانویه ۲۰۲۱.
↑ «Bigoni, D. and Dal Corso, F. (2008) The unrestrainable growth of a shear band in a prestressed material. Proc. R. Soc. Lond. A, 464, 2365-2390». بایگانی‌شده از اصلی در ۱۸ اوت ۲۰۲۰. دریافت‌شده در ۲۶ ژانویه ۲۰۲۱.

پیوند به بیرون[ویرایش]

[1] Bigoni, D. Nonlinear Solid Mechanics: Bifurcation Theory and Material Instability. Cambridge University Press, 2012. شابک ‎۹۷۸۱۱۰۷۰۲۵۴۱۷.

[2] Bigoni, Davide; Hueckel, Tomasz (1991). "Uniqueness and localization—I. Associative and non-associative elastoplasticity". International Journal of Solids and Structures. Elsevier BV. 28 (2): 197–213. doi:10.1016/0020-7683(91)90205-t. ISSN 0020-7683.

[3] Biot, M.A. (1965) Mechanics of incremental deformations. New York, Wiley.

[4] Hill, R. (1962). "Acceleration waves in solids". Journal of the Mechanics and Physics of Solids. Elsevier BV. 10 (1): 1–16. doi:10.1016/0022-5096(62)90024-8. ISSN 0022-5096.

[5] Mandel, J. (1962) Ondes plastiques dans un milieu indéfini à trois dimensions. J. de Mécanique 1, 3-30.

[6] Nadai, A. (1950) Theory of flow and fracture of solids. McGraw-Hill, New York.

[7] Rice, J. R. (1977) The localization of plastic deformation. In Koiter, W.T., ed., Theoretical and Applied Mechanics. Amsterdam, North-Holland. 207-220.

[8] Rudnicki, J.W.; Rice, J.R. (1975). "Conditions for the localization of deformation in pressure-sensitive dilatant materials" (PDF). Journal of the Mechanics and Physics of Solids. Elsevier BV. 23 (6): 371–394. doi:10.1016/0022-5096(75)90001-0. ISSN 0022-5096.

[9] Thomas, T.Y. (1961) Plastic flows and fracture of solids. Academic Press, New York.

[10] Rudnicki, J.W.; Rice, J.R. (1975). "Conditions for the localization of deformation in pressure-sensitive dilatant materials" (PDF). Journal of the Mechanics and Physics of Solids. Elsevier BV. 23 (6): 371–394. doi:10.1016/0022-5096(75)90001-0. ISSN 0022-5096.

[11] Thomas, T.Y. (1961) Plastic flows and fracture of solids. Academic Press, New York.

[12] Desrues, J.; Lanier, J.; Stutz, P. (1985). "Localization of the deformation in tests on sand sample". Engineering Fracture Mechanics. Elsevier BV. 21 (4): 909–921. doi:10.1016/0013-7944(85)90097-9. ISSN 0013-7944.

[13] Knodel, PC; Drescher, A; Vardoulakis, I; Han, C (1990). "A Biaxial Apparatus for Testing Soils". Geotechnical Testing Journal. ASTM International. 13 (3): 226-234. doi:10.1520/gtj10161j. ISSN 0149-6115.

[14] Poirier, C.; Ammi, M.; Bideau, D.; Troadec, J. P. (1992-01-13). "Experimental study of the geometrical effects in the localization of deformation". Physical Review Letters. American Physical Society (APS). 68 (2): 216–219. doi:10.1103/physrevlett.68.216. ISSN 0031-9007.

[15] Vardoulakis, I. (1983). "Rigid granular plasticity model and bifurcation in the triaxial test". Acta Mechanica. Springer Science and Business Media LLC. 49 (1–2): 57–79. doi:10.1007/bf01181755. ISSN 0001-5970.

[16] «Gajo, A., Bigoni, D. and Muir Wood, D. (2004) Multiple shear band development and related instabilities in granular materials. J. Mech. Phys. Solids 52, 2683-2724». بایگانی‌شده از اصلی در ۱۸ اوت ۲۰۲۰. دریافت‌شده در ۲۶ ژانویه ۲۰۲۱.

[17] Leroy, Y.; Ortiz, M. (1990). "Finite element analysis of transient strain localization phenomena in frictional solids". International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics. Wiley. 14 (2): 93–124. doi:10.1002/nag.1610140203. ISSN 0363-9061.

[18] Nacar, A.; Needleman, A.; Ortiz, M. (1989). "A finite element method for analyzing localization in rate dependent solids at finite strains". Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. Elsevier BV. 73 (3): 235–258. doi:10.1016/0045-7825(89)90067-4. ISSN 0045-7825.

[19] Petryk, H.; Thermann, K. (2002). "Post-critical plastic deformation in incrementally nonlinear materials". Journal of the Mechanics and Physics of Solids. Elsevier BV. 50 (5): 925–954. doi:10.1016/s0022-5096(01)00131-4. ISSN 0022-5096.

[20] Loret, Benjamin; Prevost, Jean H. (1990). "Dynamic strain localization in elasto-(visco-)plastic solids, Part 1. General formulation and one-dimensional examples". Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. Elsevier BV. 83 (3): 247–273. doi:10.1016/0045-7825(90)90073-u. ISSN 0045-7825.

[21] Jia, N.; Roters, F.; Eisenlohr, P.; Kords, C.; Raabe, D. (2012). "Non-crystallographic shear banding in crystal plasticity FEM simulations: Example of texture evolution in α-brass". Acta Materialia. Elsevier BV. 60 (3): 1099–1115. doi:10.1016/j.actamat.2011.10.047. ISSN 1359-6454.

[22] Jia, N.; Roters, F.; Eisenlohr, P.; Raabe, D.; Zhao, X. (2013). "Simulation of shear banding in heterophase co-deformation: Example of plane strain compressed Cu–Ag and Cu–Nb metal matrix composites". Acta Materialia. Elsevier BV. 61 (12): 4591–4606. doi:10.1016/j.actamat.2013.04.029. ISSN 1359-6454.

[23] Jia, N.; Eisenlohr, P.; Roters, F.; Raabe, D.; Zhao, X. (2012). "Orientation dependence of shear banding in face-centered-cubic single crystals". Acta Materialia. Elsevier BV. 60 (8): 3415–3434. doi:10.1016/j.actamat.2012.03.005. ISSN 1359-6454.

[24] «Bigoni, D. and Capuani, D. (2002) Green's function for incremental nonlinear elasticity: shear bands and boundary integral formulation. Journ. Mech. Phys. Sol. 50, 471-500». بایگانی‌شده از اصلی در ۱۸ اوت ۲۰۲۰. دریافت‌شده در ۲۶ ژانویه ۲۰۲۱.

[25] «Bigoni, D. and Capuani, D. (2005) Time-harmonic Green's function and boundary integral formulation for incremental nonlinear elasticity: dynamics of wave patterns and shear bands. Journ. Mech. Phys. Sol. 53, 1163-1187». بایگانی‌شده از اصلی در ۱۸ اوت ۲۰۲۰. دریافت‌شده در ۲۶ ژانویه ۲۰۲۱.

[26] «Dal Corso F. and Bigoni D. (2009) The interactions between shear bands and rigid lamellar inclusions in a ductile metal matrix. Proc. R. Soc. Lond. A, 465, 143-163». بایگانی‌شده از اصلی در ۱۸ اوت ۲۰۲۰. دریافت‌شده در ۲۶ ژانویه ۲۰۲۱.

[27] «Bigoni, D. and Dal Corso, F. (2008) The unrestrainable growth of a shear band in a prestressed material. Proc. R. Soc. Lond. A, 464, 2365-2390». بایگانی‌شده از اصلی در ۱۸ اوت ۲۰۲۰. دریافت‌شده در ۲۶ ژانویه ۲۰۲۱.

[۱]

[۲]

[۳]

[۴]

[۵]

[۶]

[۷]

[۸]

[۹]

[۱۰]

[۱۱]

[۱۲]

[۱۳]

[۱۴]

[۱۵]

[۱۶]

[۱۷]

[۱۸]

[۱۹]

[۲۰]

[۲۱]

[۲۲]

[۲۳]

[۲۴]

[۲۵]

[۲۶]

[۲۷]