نمادنگاری برا-کت

نمادنگاری دیراک یا نمادنگاری برا-کت، نمادنگاری استاندارد حالت‌های کوانتومی در مکانیک کوانتومی است. این نمادنگاری مختصر در فضاهای برداری با بعد متناهی و در مورد فضاهای هیلبرت به کار می‌رود. که با دونماد مشخصی می‌شوند:

قسمت چپ $\langle \phi |$ که برا نامیده می‌شود؛

و قسمت راست $|\psi \rangle$ که کت نامیده می‌شود.

حاصل ضرب داخلی برا و کت را براکت می‌نامند: $\langle \phi |\psi \rangle$.

از آنجا که این نمادنگاری توسط پل دیراک معمول شد، نمادنگاری دیراک نیز نامیده می‌شود.

برا و کت

فضای کت فضای برداری مختلطی است که بعد آن بر طبق طبیعت سیستم فیزیکی مورد نظر معین می‌شود.

ویژگی‌ها

خطی بودن

• هنگامی که براها توابعی خطی‌اند:

$\langle \phi |\;{\bigg (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigg )}=c_{1}\langle \phi |\psi _{1}\rangle +c_{2}\langle \phi |\psi _{2}\rangle .$

شرکت‌پذیری

• براها و کت‌ها شرکت‌پذیرند، نظیر:

$\langle \psi |(A|\phi \rangle )=(\langle \psi |A)|\phi \rangle$

$(A|\psi \rangle )\langle \phi |=A(|\psi \rangle \langle \phi |)$

همیوغ هرمیتی

$\langle \phi |A|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |A^{\dagger }|\phi \rangle$

$\langle \phi |A^{\dagger }B^{\dagger }|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |BA|\phi \rangle$

عملگر واحد

داریم:

$|\psi \rangle =\sum _{i\in \mathbb {N} }\langle e_{i}|\psi \rangle |e_{i}\rangle ,$

بنابر این به سادگی می‌توان نتیجه گرفت:

$\sum _{i\in \mathbb {N} }|e_{i}\rangle \langle e_{i}|={\hat {1}}$