پرش به محتوا

قضیه هارتمن-گروبمن

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

در ریاضیات، در مطالعه سیستم‌های دینامیکی، قضیه هارتمن-گروبمن یا قضیه خطی‌سازی یک قضیه دربارهٔ رفتار موضعی سامانه‌های دینامیکی در همسایگی یک نقطه تعادل هذلولی‌وار است. این قضیه ادعا می‌کند که خطی‌سازی - ساده‌سازی طبیعی سیستم - در پیش‌بینی الگوهای کیفی رفتار مؤثر است. این قضیه نام خود را مدیون فیلیپ هارتمن و دیوید ام گروبمن می‌باشد.

قضیه اصلی

[ویرایش]

سیستمی را در نظر بگیرید که در زمان با حالت در حال تحول است، به طوری که معادله دیفرانسیل را برای برخی از نگاشت‌های هموار ارضا می‌کند. فرض کنید نگاشت حالت تعادلی هذلولی‌وار دارد: به این معنا که، و ماتریس ژاکوبی از در حالت هیچ مقدارویژه‌ای با قسمت حقیقی برابر با صفر ندارد. سپس همسایگی از تعادل و یک همسان‌ریختی وجود دارد، به طوری که و همچنین شار در همسایگی از طریق نگاشت پیوسته با شار خطی‌سازی آن ، مزدوج توپولوژیکی است.[۱][۲][۳][۴]

حتی برای نگاشت‌های بی‌نهایت مشتق‌پذیر ، همسان‌ریختی لازم نیست که هموار باشد، و نه حتی به صورت محلی لیپ‌شیتس. با این حال، به نظر می‌رسد پیوسته هولدر است، و یک توان وابسته به ثابت هذلولی‌وار .[۵]

قضیه هارتمن - گروبمن به فضاهای نامتناهی باناخ، سیستم‌های ناخودگرد (به انگلیسی: non-autonomous) (به‌طور بالقوه تصادفی) تعمیم یافته‌است، و بدین‌ترتیب تفاوت‌های توپولوژیکی که در حالت‌های مربوط به مقادیر ویژه صفر و نزدیک به صفر ایجاد می‌گردند نیز قابل تشخیص خواهند بود.[۶][۷][۸][۹]

مثال

[ویرایش]

سیستم دو بعدی را با متغیرهای در حال تحول در نظر بگیرید. با توجه به جفت معادلات دیفرانسیل تزویج‌شده (به انگلیسی: coupled) است

و

با محاسبه مستقیم می‌توان دریافت که تنها تعادل این سیستم در مبدأ، یعنی قرار دارد. تبدیل مختصات، که ، به این صورت است:

نگاشت فوق، نگاشتی بین مختصات اصلی و مختصات جدید است که دست کم در نزدیکی نقطه تعادل واقع در مبدأ هموار می‌باشد. در مختصات جدید سیستم دینامیکی به حالت خطی‌شدگی خود تبدیل می‌گردد:

و

یعنی یک نسخه اعوجاج یافته از حالت خطی‌شده، دینامیک اصلی را در یک همسایگی متناهی تولید می‌نماید.

جستارهای وابسته

[ویرایش]

منابع

[ویرایش]
  1. Grobman, D. M. (1959). "О гомеоморфизме систем дифференциальных уравнений" [Homeomorphisms of systems of differential equations]. Doklady Akademii Nauk SSSR. 128: 880–881.
  2. Hartman, Philip (August 1960). "A lemma in the theory of structural stability of differential equations". Proc. A.M.S. 11 (4): 610–620. doi:10.2307/2034720. JSTOR 2034720.
  3. Hartman, Philip (1960). "On local homeomorphisms of Euclidean spaces". Bol. Soc. Math. Mexicana. 5: 220–241.
  4. Chicone, C. (2006). Ordinary Differential Equations with Applications. Texts in Applied Mathematics. Vol. 34 (2nd ed.). Springer. ISBN 978-0-387-30769-5.
  5. Belitskii, Genrich; Rayskin, Victoria (2011). "On the Grobman–Hartman theorem in α-Hölder class for Banach spaces" (PDF). {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)
  6. Aulbach, B.; Wanner, T. (1996). "Integral manifolds for Caratheodory type differential equations in Banach spaces". In Aulbach, B.; Colonius, F. (eds.). Six Lectures on Dynamical Systems. Singapore: World Scientific. pp. 45–119. ISBN 978-981-02-2548-3.
  7. Aulbach, B.; Wanner, T. (1999). "Invariant Foliations for Carathéodory Type Differential Equations in Banach Spaces". In Lakshmikantham, V.; Martynyuk, A. A. (eds.). Advances in Stability Theory at the End of the 20th Century. Gordon & Breach. CiteSeerX 10.1.1.45.5229. ISBN 978-0-415-26962-9.
  8. Aulbach, B.; Wanner, T. (2000). "The Hartman–Grobman theorem for Caratheodory-type differential equations in Banach spaces". Non-linear Analysis. 40 (1–8): 91–104. doi:10.1016/S0362-546X(00)85006-3.
  9. Roberts, A. J. (2008). "Normal form transforms separate slow and fast modes in stochastic dynamical systems". Physica A. 387 (1): 12–38. arXiv:math/0701623. Bibcode:2008PhyA..387...12R. doi:10.1016/j.physa.2007.08.023.

مطالعه بیشتر

[ویرایش]

پیوند به بیرون

[ویرایش]