قضیه باقی‌مانده چینی

فرمول اصلی Sun-tzu: x ≡ 2 (mod 3) ≡ 3 (mod 5) ≡ 2 (mod 7)با جواب $x=23+105k$، که k یک عدد صحیح است.

در ریاضیات، قضیه باقیمانده چینی بیان می‌کند که اگر باقی‌مانده تقسیم اقلیدسی یک عدد صحیح n را بر چند عدد صحیح بدانیم، می‌توانیم باقیمانده تقسیم n را بر حاصل ضرب این اعداد صحیح به‌طور یکتا تعیین کنیم، به شرط آن که مقسوم‌علیه‌ها نسبت به هم اول باشند (هیچ دو مقسوم‌علیه به جز ۱ عامل مشترکی ندارند).

به عنوان مثال، اگر بدانیم که باقیمانده n تقسیم بر ۳ برابر ۲ است، باقیمانده n تقسیم بر ۵ برابر ۳ است و باقیمانده n تقسیم بر ۷ برابر ۲ است، بدون دانستن مقدار n، می‌توانیم تعیین کنیم که باقیمانده n تقسیم بر ۱۰۵ (ضرب ۳، ۵ و ۷) ۲۳ است. مهمتر از همه، این به ما می‌گوید که اگر n عدد طبیعی کمتر از ۱۰۵ باشد، ۲۳ تنها مقدار ممکن n است.

فرم اولیه قضیه در کتاب سان زی سوآنجینگ(孙子算经)(Sun Zi Suanjing) نوشته ریاضی‌دان چینی سون تزو (Sun Tzu) که بعداً در ۱۲۴۷ توسط قین جیوشاو (Qin Jiushao) باز نوشت شد گنجانده شده.

قضیه باقیمانده چینی به‌طور گسترده برای محاسبات با اعداد صحیح بزرگ استفاده می‌شود، زیرا محاسباتی را که برای آن فرد محدودیتی در اندازه خروجی دارد با چندین محاسبات مشابه روی اعداد صحیح کوچک جایگزین می‌کند.

قضیه باقی مانده چینی (بیان شده بر حسب همنهشتی‌ها) در هر حوزه ایده‌آل اصلی صادق است. این قضیه با صورتی شامل ایده‌آل‌های دوطرفه به هر حلقه‌ای تعمیم داده شده‌است.

تاریخچه

قضیه باقی‌مانده چینی توسط گاوس در Disquisitiones Arithmeticae(منتشر شده در ۱۸۰۱ میلادی) استفاده شد است.

اولین نسخه شناخته شده از این قضیه، به عنوان مسئله ای با اعدادی خاص، در کتاب قرن سوم Sun-tzu Suan-ching توسط ریاضیدان چینی Sun-tzu آمده‌است:

چند شی داریم که تعدادشان مشخص نیست. اگر آنها را سه‌تا سه‌تا بشماریم، دو عدد باقی می‌ماند و با پنج، ما سه تا باقی‌مانده خواهیم داشت. برای هفت هم، دو تا باقی می‌ماند. چند شی وجود دارد؟

کارهای سون تزو شامل هیچ الگوریتم یا اثباتی کاملی برای این سؤال نیست. اولین چیزی که بتوان آن را به عنوان یک الگوریتم برای این سؤال شناخت توسط آریابهاتا در قرن ششم ارائه شد. نسخه‌های خاصی از قضیه باقی‌مانده چینی توسط برهماگوپتا (قرن ۷ام) نیز شناخته شده بود که در کتاب Liber Abaci فیبوناچی در ۱۲۰۲ میلادی نیز آورده شده‌اند. در نهایت تعمیم این صورت‌بندی‌ها به اسم Da-yan-shu (大衍術) توسط Ch'in Chiu-shao در Mathematical Treatise in Nine Sections (數書九章, Shu-shu Chiu-chang) در سال ۱۲۴۷ میلادی منتشر شده‌است که نهایتاً اوایل قرن ۱۹ام میلادی به زبان انگلیسی توسط Alexander Wylie ترجمه شده‌اند.

اولین صورت‌بندی به وسیله همنهشتی‌ها توسط گاوس در Disquisitiones Arithmeticae(منتشر شده در ۱۸۰۱ میلادی) استفاده شد است. گاوس قضیه باقیمانده چینی را در مورد مسئله‌ای در مورد تقویم‌ها نشان می‌دهد، یعنی «پیدا کردن سال‌هایی که دارای یک دوره معین نسبت به چرخه خورشیدی و قمری و دوره رومی هستند». گاوس روشی را برای حل مسئله معرفی می‌کند که قبلاً توسط لئونارد اویلر استفاده شده بود اما در واقع یک روش بسیار قدیمی‌تر بود که چندین بار ظاهر شده بود.

شرح قضیه

فرض کنید n_۱، n_۲، …، n_k اعداد صحیحی باشند که دو به دو نسبت به هم اولند. برای هر سری اعداد صحیح a_۱،a_۲، …، a_k عدد صحیح x وجود دارد به‌طوری‌که در دستگاه معادلات همنهشتی زیر صدق کند:

$${\begin{aligned}x&\equiv a_{1}{\pmod {n_{1}}}\\x&\equiv a_{2}{\pmod {n_{2}}}\\&\vdots \\x&\equiv a_{k}{\pmod {n_{k}}}\end{aligned}}$$

علاوه بر این تمام جوابهای x به پیمانه N = n_۱n_۲…n_k همنهشتند. در نتیجه برای همه $1\leq i\leq k$ داریم:$x\equiv y{\pmod {n_{i}}}$ اگر و تنها اگر $x\equiv y{\pmod {N}}$. گاهی اوقات این دستگاه حتی زمانی که همه n_iها دوبه دو نسبت به هم اول نیستند هم قابل حل است.

فرض کنید $\;d_{1},d_{2},...,d_{n}$ و همچنین $\;a_{1},a_{2},...,a_{n}$ اعدادی صحیح باشند که برای هر $\;0\leq i,j\leq n$ داشته باشیم $\;(d_{i},d_{j})|a_{i}-a_{j}$. که $\;(d_{i},d_{j})$ ب.م. م $\;d_{i}$ و $\;d_{j}$ است. حال حتماً عدد صحیح $\;x$ وجود دارد به‌طوری‌که در دستگاه معادلات همنهشتی زیر صدق کند:

$${\begin{aligned}x&\equiv a_{1}{\pmod {d_{1}}}\\x&\equiv a_{2}{\pmod {d_{2}}}\\&\vdots \\x&\equiv a_{k}{\pmod {d_{k}}}\end{aligned}}$$

روش ساختاری برای یافتن جواب

این الگوریتم قسمتی از اثبات قضیه هم هست زیرا جواب x را برای دستگاه پیدا می‌کند.

این الگوریتم تنها زمانی که $n_{i}$ها دوبه دو نسبت به هم اولند جواب می‌دهد. در حالی که روش تفریق‌های متوالی معمولاً حتی زمانی که پیمانه‌ها دو به دو نسبت به هم اول نیستند هم کاربرد دارد.

فرض کنید جوابی برای دستگاه معادلات زیر وجود دارد.

$x\equiv a_{i}{\pmod {n_{i}}}\quad \mathrm {for} \;i=1,\ldots ,k.$

حاصلضرب $N=n_{1}n_{2}\ldots n_{k}$ تعریف می‌شود. جواب x به صورت زیر بدست می‌آید. برای هرi, $n_{i}$ و $N/n_{i}$ نسبت به هم اولند. با استفاده از الگوریتم گسترده اقلیدس(extended Euclidean algorithm) می‌توان اعداد $r_{i}$ و $s_{i}$ را طوری‌که $r_{i}n_{i}+s_{i}N/n_{i}=1$ باشد را یافت. با فرض اینکه $e_{i}=s_{i}N/n_{i}$ باشد می‌توان به عبارت زیر رسید.

$r_{i}n_{i}+e_{i}=1\,\!$

با در نظر گرفتن $e_{i}$، عبارت بالا تضمین می‌کند که باقی‌مانده تقسیم آن بر $n_{i}$ برابر ۱ خواهد بود. از طرفی چون خود این عدد برابر $s_{i}N/n_{i}$ تعریف شده‌است، بر تمام $n_{j}$ها مگر $n_{i}$ بخشپذیر است و داریم:

$e_{i}\equiv 1{\pmod {n_{i}}}\quad \mathrm {and} \quad e_{i}\equiv 0{\pmod {n_{j}}}\quad \mathrm {for} ~i\neq j$

در نتیجه با استفاده از قوانین ضرب در همنهشتی‌ها، جوابی برای دستگاه معادلات همنهشتی به صورت زیر خواهد بود:

$x=\sum _{i=1}^{k}a_{i}e_{i}.\!$

نمونه

پرسشی برای بدست آوردن عدد صحیح x که در دستگاه زیر صدق کند را در نظر بگیرید.

$x\equiv 2{\pmod {3}},\,\!$

$x\equiv 3{\pmod {4}},\,\!$

$x\equiv 1{\pmod {5}}.\,\!$

با استفاده از الگوریتم اقلیدس برای ۳و ۴×۵ = ۲۰ داریم (۱۳-) × ۳ + ۲ × ۲۰ = ۱، یعنی e_۱ = ۴۰ و برای ۴ و ۳×۵ = ۱۵ بدست می‌آوریم (۱۱-) × ۴ + ۳ × ۱۵ = ۱ یعنی e_۲ = ۴۵. در نهایت برای ۵ و ۳×۴ = ۱۲ الگوریتم اقلیدس نتیجه می‌دهد۵ × ۵ + (۲-) × ۱۲ = ۱ به این معنا که ''e_۳ = −۲۴ است. پس یکی از جوابها برای x عدد ۲ × ۴۰ + ۳ × ۴۵ + ۱ × (۲۴-) = ۱۹۱ است. تمام اعداد صحیح دیگر که به پیمانه ۳ × ۴ × ۵ = ۶۰ با ۱۹۱ همنهشتند هم جواب هستند؛ یعنی همه آن‌ها با ۱۱ به پیمانه ۶۰ همنهشتند.

نکته: ممکن است اعداد بدست آمده با الگوریتم اقلیدس برای $e_{i}$ها متفاوت باشد، اما در جواب نهایی همه مشترکند.

کاربرد

از این قضیه در الگوریتم RSA برای رسیدن به جواب در زمان کمتر استفاده می‌شود.

برای انجام محاسبات بر روی اعداد بسیار بزرگ از این قضیه استفاده می‌شود. اعداد که نسبت به هم اولند به عنوان $n_{i}$ انتخاب می‌شوند و اعداد بزرگ برای محاسبه به صورت زوج مرتب از $a_{i}$ها در می‌آیند و پس از انجام محاسبات بر روی $a_{i}$ها نتیجه به صورت خود عدد درمی‌آید.

تعمیم

فرض کنید $R$ یک حلقه باشد و $I_{1},\cdots ,I_{n}$ ایده‌آل‌هایی از $R$ باشند که برای هر $i\neq j$ داشته باشیم $I_{i}+I_{j}=R$. اگر $b_{1},\cdots ,b_{n}$ عنصرهای دلخواه $R$ باشند آنگاه عنصر $b$ چنان در $R$ موجود است که $b-b_{i}\in R$ (در واقع $b{\overset {I_{i}}{\equiv }}b_{i}$). به علاوه اگر $c$ موجود باشد که خاصیت $b$ را داشته‌باشد آنگاه $b-c\in \bigcap _{i=1}^{n}I_{i}$ (در واقع $b{\overset {\bigcap _{i=1}^{n}I_{i}}{\equiv }}c$).

منابع

• دانلد کنوت. هنر برنامه‌نویسی رایانه, Volume 2: Seminumerical Algorithms, Third Edition. Addison-Wesley, 1997. ISBN 0-201-89684-2. Section 4.3.2 (pp.286–291), exercise 4.6.2–3 (page 456).
• توماس اچ کورمن، Charles E. Leiserson, رونالد ریوست، and کلیفورد استین. مقدمه‌ای بر الگوریتم‌ها, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 31.5: The Chinese remainder theorem, pp.873–876.
• Sigler, Laurence E. (trans.) (2002), Fibonacci's Liber Abaci (به انگلیسی), Springer-Verlag, p. 402–403