قانون تقابل درجه دوم

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو

قضیه ایست قدرتمند در شاخه نظریه اعداد از ریاضیات. با وجود آنکه قوانینی مشابه برای درجه سوم و بالاتر ثابت شده است، اما همچنان این قضیه، بسیار پرکاربرد و قدرتمند ظاهر می‌شود و استفاده از آن متوقف نگشته است. برای بیان این قضیه ابتدا دو تعریف ارائه می دهیم.

مانده و نامانده[ویرایش]

عددی اول و فرد و عددی صحیح و نسبت به اول است. اگر معادله همنهشتی جواب داشته باشد، آنگاه عدد را به پیمانه مانده و در غیر این صورت نامانده می گوییم.

مثال[ویرایش]

  • به پیمانه مانده است زیرا
  • همه اعداد مربع کامل به پیمانه هر عددی مانده اند.

چند قضیه مرتبط[ویرایش]

  • مانده‌های به پیمانه عدد اول دقیقاً اعداد زیر اند

  • برای هر اول، دقیقاً مانده متمایز به هنگ و به همین تعداد نامانده وجود دارد.

نماد لژاندر[ویرایش]

اگر عددی اول و فرد و عددی صحیح باشند که تابع لژاندر با نماد برابر است با اگر در مبنای مانده باشد و در غیر این صورت برابر است با . به عبارت دبگر:

مثال[ویرایش]

در همان مثال قبل می توان نوشت

محک اویلر[ویرایش]

اگر عددی اول و فرد و عددی صحیح و نسبت به آن اول باشد، آنگاه داریم

اثبات[ویرایش]

طبق قضیه کوچک فرما می دانیم برای هر داریم . پس

اگر مانده باشد، برای یک ایی داریم و این نتیجه می دهد

حال فرض کنید ریشه اولیه باشد، پس ای هست که داشته باشیم . پس . اگر نامانده باشد، آنگاه حتماً فرد است و در نتیجه بر بخش پذیر نیست و این به دلیل ریشه اول بودن نتیجه می دهد یعنی

قانون تقابل درجه دوم[ویرایش]

اگر و دو عدد اول، فرد و متمایز باشند آنگاه داریم:

دو پرانتز ظاهر شده در توان نماد لژاندر نیستند.

منابع[ویرایش]

کتاب نظریه اعداد، مریم میرزاخانی، رویا بهشتی زواره، انتشارات فاطمی