قانون تقابل مربعی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو

قانون تقابل مربعی (به انگلیسی: Quadratic reciprocity)، قضیه‌ای است قدرتمند در شاخه نظریه اعداد از ریاضیات. با وجود آنکه قوانینی مشابه برای درجه سوم و بالاتر ثابت شده‌است، اما همچنان این قضیه، بسیار پرکاربرد و قدرتمند ظاهر می‌شود و استفاده از آن متوقف نگشته‌است. برای بیان این قضیه ابتدا دو تعریف ارائه می‌دهیم.

مانده و نامانده[ویرایش]

عددی اول و فرد و عددی صحیح و نسبت به اول است. اگر معادله همنهشتی جواب داشته باشد، آنگاه عدد را به پیمانه مانده و در غیر این صورت نامانده می‌گوییم.

مثال[ویرایش]

  • به پیمانه مانده‌است زیرا
  • همه اعداد مربع کامل به پیمانه هر عددی مانده اند.

چند قضیه مرتبط[ویرایش]

  • مانده‌های به پیمانه عدد اول دقیقاً اعداد زیر اند

  • برای هر اول، دقیقاً مانده متمایز به هنگ و به همین تعداد نامانده وجود دارد.

نماد لژاندر[ویرایش]

اگر عددی اول و فرد و عددی صحیح باشند که تابع لژاندر با نماد برابر است با اگر در مبنای مانده باشد و در غیر این صورت برابر است با . به عبارت دبگر:

مثال[ویرایش]

در همان مثال قبل می‌توان نوشت

محک اویلر[ویرایش]

اگر عددی اول و فرد و عددی صحیح و نسبت به آن اول باشد، آنگاه داریم

اثبات[ویرایش]

طبق قضیه کوچک فرما می‌دانیم برای هر داریم . پس

اگر مانده باشد، برای یک ایی داریم و این نتیجه می‌دهد

حال فرض کنید ریشه اولیه باشد، پس ای هست که داشته باشیم . پس . اگر نامانده باشد، آنگاه حتماً فرد است و در نتیجه بر بخش پذیر نیست و این به دلیل ریشه اول بودن نتیجه می‌دهد یعنی

قانون تقابل مربعی[ویرایش]

اگر و دو عدد اول، فرد و متمایز باشند آنگاه داریم:

دو پرانتز ظاهر شده در توان نماد لژاندر نیستند.

منابع[ویرایش]

کتاب نظریه اعداد، مریم میرزاخانی، رؤیا بهشتی زواره، انتشارات فاطمی