فرمول عدد رده‌ای

در نظریه اعداد، فرمول عدد رده‌ای (به انگلیسی: Class Number Formula)، بین ناورداهای مهمی از یک میدان عددی و یک مقدار خاص از تابع زتای ددکیند آن میدان عددی، ارتباط برقرار می‌سازد.

حکم کلی

ما با این داده‌ها آغاز می‌کنیم:

• $K$ یک میدان عددی است.
• $[K:\mathbb {Q} ]=n=r_{1}+2r_{2}$ که در آن $r_{1}$ تعداد نشاندن‌های حقیقی $K$، و $2r_{2}$ تعداد نشاندن‌های مختلط $K$ است.
• $\zeta _{K}(s)$ تابع زتای ددکیند $K$ است.
• $h_{K}$ رده عددی است، یعنی تعداد اعضای گروه رده ایده‌آل $K$.
• $Reg_{k}$ تنظیم‌کننده $K$.
• $w_{K}$ تعداد ریشه‌های واحدی است که در $K$ وجود دارند.
• $D_{K}$ مشخصه توسیع $K/\mathbb {Q}$ است.

آنگاه:

قضیه (فرمول عدد رده‌ای). $\zeta _{K}(s)$ برای $Re(s)>1$ به‌طور مطلق همگراست و به تابع مرومورفی توسعه می‌یابد که برای تمام sهای صفحه مختلط تعریف شده به جز قطب ساده ای در $s=1$ که دارای مانده زیر است:

$\lim _{s\to 1}(s-1)\zeta _{K}(s)={\frac {2^{r_{1}}\cdot (2\pi )^{r_{2}}\cdot \operatorname {Reg} _{K}\cdot h_{K}}{w_{K}\cdot {\sqrt {|D_{K}|}}}}$

این کلی‌ترین «فرمول عدد رده‌ای» است. در موارد خاص، به عنوان مثال زمانی که $K$ توسیعی دوری از $\mathbb {Q}$ باشد، فرمول‌های عدد رده‌ای ظریف تر و خاص تری وجود دارند.

منابع

• W. Narkiewicz (1990). Elementary and analytic theory of algebraic numbers (2nd ed.). Springer-Verlag/Polish Scientific Publishers PWN. pp. 324–355. ISBN 3-540-51250-0.

This article incorporates material from Class number formula on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.