از ویکیپدیا، دانشنامهٔ آزاد
یک رز با k = 7 گلبرگ
یک رز با 8 گلبرگ (k=4).
در ریاضیات، رز (به انگلیسی: Rose) یا منحنی رودونی (به انگلیسی: Rhodonea curve) یک موج سینوسی رسم شده در مختصات قطبی است.
تعریف ریاضی[ویرایش]
بنا بر تشابه منحنیهای رز را میتوان با معادلهای در مختصات قطبی به شکل زیر نمایش داد:
![{\displaystyle \!\,r=\cos(k\theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/947b13057001eb7928830599d00c10ed079d401b)
و یا میتوان آن را به صورت دو معادله در مختصات دکارتی نمایش داد:
![{\displaystyle \!\,x=\cos(kt)\sin(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb7ea1904aade71f9899cd66c2d26826d0ddda03)
![{\displaystyle \!\,y=\cos(kt)\cos(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4df86ffdca2b47de32024d2283f14c6f360d0498)
برای رزی که معادله قطبی آن به شکل زیر باشد
![{\displaystyle r=a\cos(k\theta )\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d7f7f18e4de587d12b12ccf03aa323114eaff5a)
و k عدد صحیح مثبت باشد، مساحت وقتی k فرد باشد، برابر است با
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }(a\cos(k\theta ))^{2}\,d\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\left(\pi +{\frac {\sin(4k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f45a41c3f8cef6806da7612603ec72a8e726ec9)
و وقتی k زوج باشد :
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }(a\cos(k\theta ))^{2}\,d\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\left({\frac {\pi }{2}}+{\frac {\sin(2k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/211ca795217c90faeb5a2632f4c111c79557a2d1)
پیوند به بیرون[ویرایش]