رز (ریاضی)

در ریاضیات، رز (به انگلیسی: Rose) یا منحنی رودونی (به انگلیسی: Rhodonea curve) یک موج سینوسی رسم شده در مختصات قطبی است.

تعریف ریاضی

بنا بر تشابه منحنی‌های رز را می‌توان با معادله‌ای در مختصات قطبی به شکل زیر نمایش داد:

\!\,r=\cos(k\theta )

و یا می‌توان آن را به صورت دو معادله در مختصات دکارتی نمایش داد:

\!\,x=\cos(kt)\sin(t)

\!\,y=\cos(kt)\cos(t)

برای رزی که معادله قطبی آن به شکل زیر باشد

r=a\cos(k\theta )\,

و k عدد صحیح مثبت باشد، مساحت وقتی k فرد باشد، برابر است با

{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }(a\cos(k\theta ))^{2}\,d\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\left(\pi +{\frac {\sin(4k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{2}}

و وقتی k زوج باشد :

{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }(a\cos(k\theta ))^{2}\,d\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\left({\frac {\pi }{2}}+{\frac {\sin(2k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{4}}