تناوب پیزانو

نموداری از ۱۰۰۰۰ تناوب اول پیزانو.

در نظریه اعداد، n امین تناوب پیزانو که به صورت (n)$\pi$ نوشته می‌شود، تابع متناوبی است که با آن دنباله اعداد فیبوناچی که از هم نهشتی n ام گرفته شده، تکرار می‌شود. دوره‌های پیزانو به نام لئوناردو پیزانو که بیشتر به نام فیبوناچی شناخته می‌شود، نامگذاری شده است. وجود توابع تناوبی در اعداد فیبوناچی توسط جوزف لوئیس لاگرانژ در سال ۱۷۷۴ مورد توجه قرار گرفت.

تعریف

اعداد فیبوناچی اعداد موجود در دنباله اعداد صحیح به شرح زیر هستند:

۰, ۱, ۱, ۲, ۳, ۵, ۸, ۱۳, ۲۱, ۳۴, ۵۵, ۸۹, ۱۴۴, ۲۳۳, ۳۷۷, ۶۱۰, ۹۸۷, ۱۵۹۷, ۲۵۸۴, ۴۱۸۱, ۶۷۶۵, ۱۰۹۴۶, ۱۰۹۴۶ … (دنباله A000045 در OEIS)

برای n = ۳، نمودار بالا تجسم دوره پیزانو در فضای حالت دو بعدی رابطه بازگشتی است. محورها را می‌توان «قبلی» و «جاری» نامید. حرکت در نقطه (قبلی، فعلی) = (۰، ۱) با رنگ قرمز آغاز می‌شود و سپس از طریق رنگ‌های رنگین کمان در نهایت به (۱، ۰) می‌رسد و سپس به (۰، ۱) بازمی‌گردد؛ یعنی (۳)$\pi$ = ۸.

که با رابطه بازگشتی به صورت زیر تعریف شده است:

$F_{0}=0$

$F_{1}=1$

$F_{i}=F_{i-1}+F_{i-2}.$

برای هر عدد صحیح n، دنباله اعداد فیبوناچی F_i گرفته شده از هم نهشتی nام به صورت تناوبی است.

تناوب پیزانو که به شکل (n)$\pi$ نشان داده می‌شود، طول تناوب در این دنباله است. به عنوان مثال، دنباله اعداد فیبوناچی با هم نهشتی ۳ به صورت زیر است:

۰، ۱، ۱، ۲، ۰، ۲، ۲، ۱، ۰، ۱، ۱، ۲، ۰، ۲، ۲، ۱، ۰، ۱، ۱، ۲، ۰، ۲، ۲، ۱، ۰، … (دنباله A082115 در OEIS)

این دنباله دارای تناوب ۸ است، بنابراین ۸ = (3)$\pi$.

منابع

• Bloom, D. M. (1965), "Periodicity in generalized Fibonacci sequences", Amer. Math. Monthly, 72 (8): 856–861, doi:10.2307/2315029, JSTOR 2315029, MR 0222015
• Brent, Richard P. (1994), "On the periods of generalized Fibonacci sequences", Mathematics of Computation, 63 (207): 389–401, arXiv:1004.5439, Bibcode:1994MaCom..63..389B, doi:10.2307/2153583, JSTOR 2153583, MR 1216256
• Engstrom, H. T. (1931), "On sequences defined by linear recurrence relations", Trans. Am. Math. Soc., 33 (1): 210–218, doi:10.1090/S0002-9947-1931-1501585-5, JSTOR 1989467, MR 1501585
• Falcon, S.; Plaza, A. (2009), "k-Fibonacci sequence modulo m", Chaos, Solitons & Fractals, 41 (1): 497–504, Bibcode:2009CSF....41..497F, doi:10.1016/j.chaos.2008.02.014
• Freyd, Peter; Brown, Kevin S. (1992), "Problems and Solutions: Solutions: E3410", Amer. Math. Monthly, 99 (3): 278–279, doi:10.2307/2325076, JSTOR 2325076
• Laxton, R. R. (1969), "On groups of linear recurrences", Duke Mathematical Journal, 36 (4): 721–736, doi:10.1215/S0012-7094-69-03687-4, MR 0258781
• Wall, D. D. (1960), "Fibonacci series modulo m", Amer. Math. Monthly, 67 (6): 525–532, doi:10.2307/2309169, JSTOR 2309169
• Ward, Morgan (1931), "The characteristic number of a sequence of integers satisfying a linear recursion relation", Trans. Am. Math. Soc., 33 (1): 153–165, doi:10.1090/S0002-9947-1931-1501582-X, JSTOR 1989464
• Ward, Morgan (1933), "The arithmetical theory of linear recurring series", Trans. Am. Math. Soc., 35 (3): 600–628, doi:10.1090/S0002-9947-1933-1501705-4, JSTOR 1989851
• Zierler, Neal (1959), "Linear recurring sequences", J. SIAM, 7 (1): 31–38, doi:10.1137/0107003, JSTOR 2099002, MR 0101979

لینک‌های دیگر

• مدول دنباله فیبوناچی m
• تحقیقی برای اعداد فیبوناچی
• دنباله فیبوناچی با q, r مدول m شروع می‌شود
  • Fibonacci Mystery - Numberphile در یوتیوب، ویدئویی با دکتر جیمز گریم و دانشگاه ناتینگهام