بی‌نهایت مطلق

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
Real projective line.svg

بی‌نهایت مطلق در ریاضیات به اعدادی به‌شکل \frac{K}{0} به‌طوری‌که K≠۰ باشد "بی‌نهایت مطلق" می‌گویند. آن را با نماد \infty نمایش می‌دهند.

مثلاً: \frac{1}{0} = \infty

اعمال ریاضی برروی بی‌نهایت مطلق[ویرایش]

{\infty} + {\infty} = \frac{0}{0}

{\infty} - {\infty} = \frac{0}{0}

\frac{\infty} {\infty} = \frac{0}{0}

{\infty}. {\infty} = {\infty}

{\infty}. K = {\infty}

{\infty} + K = {\infty}

\frac{1}{\infty} = 0

شکل‌های دیگر بی‌نهایت مطلق[ویرایش]

log(0)={\infty}

0^{-1}={\infty}

(-1)!={\infty}

tan(\frac {\pi}{2})={\infty}

بی‌نهایت مطلق و تناقض‌های ریاضی[ویرایش]

لئونارد اویلر، ریاضی‌دان سوئیسی در قرن ۱۸ نوشت:

1-2+3-4+... =1/4

اثبات اویلر به‌شکل زیر بود:


\begin{array}{rclllll}
4s&=& &(1-2+3-4+\cdots) & {}+(1-2+3-4+\cdots) & {}+(1-2+3-4+\cdots) &{}+(1-2+3-4+\cdots) \\
 &=& &(1-2+3-4+\cdots) & {}+1+(-2+3-4+5+\cdots) & {}+1+(-2+3-4+5+\cdots) &{}+(1-2)+(3-4+5-6\cdots) \\
 &=& &(1-2+3-4+\cdots) & {}+1+(-2+3-4+5+\cdots) & {}+1+(-2+3-4+5+\cdots) &{}-1+(3-4+5-6\cdots) \\
 &=&1+&(1-2+3-4+\cdots) & {}+(-2+3-4+5+\cdots) & {}+(-2+3-4+5+\cdots) &{}+(3-4+5-6\cdots) \\
 &=&1+[&(1-2-2+3) & {}+(-2+3+3-4) & {}+(3-4-4+5) &{}+(-4+5+5-6)+\cdots] \\
 &=&1+[&0+0+0+0+\cdots] \\
4s&=&1
\end{array}

اگر تساوی بالا درست باشد، آنگاه:

1-1+1-1+... =1/2

همان‌طور که می‌بینید، دنبالهٔ بالا فقط اعداد ۰ و ۱ را تولید می‌کند؛ چطور ممکن است که به عدد \frac{1}{2} همگرا باشد؟

واقعاً تساوی بالا شگفت‌انگیز و نوعی پارادوکس است، زیرا دنبالهٔ بالا واگراست.

زیبایی‌های بی‌نهایت مطلق[ویرایش]

دو خط موازی در بی‌نهایت مطلق به هم می‌رسند.

اثبات: به شکل زیر توجه کنید:

INFINITY

دو خط سیاه و قرمز در نقطهٔ O به هم می‌رسند. برای اینکه بفهمیم دو خط قرمز و سیاه کجا به هم می‌رسند، باید مقدار Z را به‌دست آوریم. یعنی اندازهٔ Z معیاری است برای اینکه بفهمیم خط قرمز پس از طی چه مسافتی به خط سیاه می‌رسد. می‌دانیم كه:

 \cos(a) = \frac {y}{z}

پس:

 z = \frac {y}{ \cos(a) }

پس خط قرمز پس از مسافت Z به خط سیاه خواهد رسید.

حال اگر خط سیاه را ثابت نگه داشته، ولی زاویهٔ a را تغییر داده و آن را به ۹۰ درجه برسانیم، یعنی a=۹۰، آنگاه دو خط قرمز و سیاه مطابق شکل زیر موازیِ هم خواهند شد:

Infinity 2

در اینجا دو خط سیاه و قرمز موازی هم خواهند بود. برای اینکه بفهمیم این دو خط در کجا به هم می‌رسند، یعنی خط قرمز پس از طی چه مسافتی به خط سیاه خواهد رسید، باید مقدار Z را در این حالت به‌دست آوریم.

طبق اثبات بالا می‌دانیم:

z = \frac {y}{ \cos(a) }

در اینجا a=۹۰؛ پس:

z = \frac {y}{ \cos(90) } = \frac {y}{0} = \infty

پس ثابت شد دو خط موازی قرمز و سیاه در بی‌نهایت به هم خواهند رسید.

منابع[ویرایش]

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Real projective line»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد.