بی‌نهایت مطلق

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
Real projective line.svg

بی‌نهایت مطلق در ریاضیات به اعدادی به‌شکل \frac{K}{0} به‌طوری‌که K≠۰ باشد "بی‌نهایت مطلق" می‌گویند. آن را با نماد \infty نمایش می‌دهند.

مثلاً: \frac{1}{0} = \infty

اعمال ریاضی برروی بی‌نهایت مطلق[ویرایش]

{\infty} + {\infty} = \frac{0}{0}

{\infty} - {\infty} = \frac{0}{0}

\frac{\infty} {\infty} = \frac{0}{0}

{\infty}. {\infty} = {\infty}

{\infty}. K = {\infty}

{\infty} + K = {\infty}

\frac{1}{\infty} = 0

شکل‌های دیگر بی‌نهایت مطلق[ویرایش]

log(0)={\infty}

0^{-1}={\infty}

(-1)!={\infty}

tan(\frac {\pi}{2})={\infty}

بی‌نهایت مطلق و تناقض‌های ریاضی[ویرایش]

لئونارد اویلر، ریاضی‌دان سوئیسی در قرن ۱۸ نوشت:

1-2+3-4+... =1/4

اثبات اویلر به‌شکل زیر بود:


\begin{array}{rclllll}
4s&=& &(1-2+3-4+\cdots) & {}+(1-2+3-4+\cdots) & {}+(1-2+3-4+\cdots) &{}+(1-2+3-4+\cdots) \\
 &=& &(1-2+3-4+\cdots) & {}+1+(-2+3-4+5+\cdots) & {}+1+(-2+3-4+5+\cdots) &{}+(1-2)+(3-4+5-6\cdots) \\
 &=& &(1-2+3-4+\cdots) & {}+1+(-2+3-4+5+\cdots) & {}+1+(-2+3-4+5+\cdots) &{}-1+(3-4+5-6\cdots) \\
 &=&1+&(1-2+3-4+\cdots) & {}+(-2+3-4+5+\cdots) & {}+(-2+3-4+5+\cdots) &{}+(3-4+5-6\cdots) \\
 &=&1+[&(1-2-2+3) & {}+(-2+3+3-4) & {}+(3-4-4+5) &{}+(-4+5+5-6)+\cdots] \\
 &=&1+[&0+0+0+0+\cdots] \\
4s&=&1
\end{array}

اگر تساوی بالا درست باشد، آنگاه:

1-1+1-1+... =1/2

همان‌طور که می‌بینید، دنبالهٔ بالا فقط اعداد ۰ و ۱ را تولید می‌کند؛ چطور ممکن است که به عدد \frac{1}{2} همگرا باشد؟

واقعاً تساوی بالا شگفت‌انگیز و نوعی پارادوکس است، زیرا دنبالهٔ بالا واگراست.

منابع[ویرایش]

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Real projective line»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد.