قانون لختی سیلوستر: تفاوت میان نسخهها
Arman.fatemi (بحث | مشارکتها) بدون خلاصۀ ویرایش |
Arman.fatemi (بحث | مشارکتها) بدون خلاصۀ ویرایش |
||
خط ۱۳: | خط ۱۳: | ||
==شرح با استفاده از مقادیر ویژه== |
==شرح با استفاده از مقادیر ویژه== |
||
شاخص های + و - یک ناتریس مربعی همان تعداد [[مقادیر ویژه]] مثبت و منفی ماتریس A است. هر ماتریس مربعی حقیقی A [[یک ترکیب ویژه]] با فرم QEQ<sup>T</sup> دارد که E [[ماتریس قطری]] شامل مقادیر ویژه A است و Q ماتریس حاوی بردار های ویژه است. E می تواند به صورت E=WPW<sup>T</sup> نوشته شود به طوری که D قطری با درایه های ۰ و ۱ و -۱ است و W قطری است به طوری که |''W''<sub>''ii''</sub>=√|''E''<sub>''ii''</sub>. |
شاخص های + و - یک ناتریس مربعی همان تعداد [[مقادیر ویژه]] مثبت و منفی ماتریس A است. هر ماتریس مربعی حقیقی A [[یک ترکیب ویژه]] با فرم QEQ<sup>T</sup> دارد که E [[ماتریس قطری]] شامل مقادیر ویژه A است و Q ماتریس حاوی بردار های ویژه است. E می تواند به صورت E=WPW<sup>T</sup> نوشته شود به طوری که D قطری با درایه های ۰ و ۱ و -۱ است و W قطری است به طوری که |''W''<sub>''ii''</sub>=√|''E''<sub>''ii''</sub>. |
||
==لینک به بیرون== |
|||
*[http://planetmath.org/encyclopedia/SylvestersLaw.html Sylvester's law] در [[PlanetMath]]. |
نسخهٔ ۲۸ ژانویهٔ ۲۰۱۲، ساعت ۱۹:۲۸
قانو لختی سیلوستر تئوری ای در جبر درباره خواص ویژه ی ماتریس ضرایب یک فرم درجه دوم است که با تغییر محور های مختصات ثابت می ماند. مثلا اگر A یک ماتریس متقارن باشد که توصیف کننده یک حالت درجه دوم است و S هر ماتریس معکوس پذیری باشد به طوری که D=SAST قطری باشد آنگاه تعداد درایه های منفی در قطر D همواره ثابت است. همچنین برای درایه های مثبت. این خاصیت به نام J.J. Sylvester نامگذاری شده که اثبات آن را ارائه کرد.
شرح تئوری
اگر A یک ماتریس مربعی از درجه n با درایه های حقیقی باشد، هر ماتریس غیر تکین S با اندازه مشابه A را تبدیل به ماتریس مربعی B=SAST می کند که آن هم از اندازه n است. اگر A ماتریس ضرایب یک فرم درجه دوم در Rn باشد، آنگاه B همواره می تواند با این روش به ماتریس قطری D تبدیل شود که درایه های آن فقط ۰ و ۱ و ۱- هستند.
تعداد +۱ ها که به صورت n+ مشخص می شود اندیس مثبت لختی و تعداد ۱- ها اندیس منفی لختی نامیده می شود. تعداد ۰ ها که با n0 مشخص می شود بّعد هسته A است. این اعداد در رابطه بدیهی زیر صدق می کنند.
(+n-)-(n) معمولا امضای A نامیده می شود. هرچند برخی نویسندگان این لغت را برای سه تایی (-n0,n+,n) به کار می برند.
شرح با استفاده از مقادیر ویژه
شاخص های + و - یک ناتریس مربعی همان تعداد مقادیر ویژه مثبت و منفی ماتریس A است. هر ماتریس مربعی حقیقی A یک ترکیب ویژه با فرم QEQT دارد که E ماتریس قطری شامل مقادیر ویژه A است و Q ماتریس حاوی بردار های ویژه است. E می تواند به صورت E=WPWT نوشته شود به طوری که D قطری با درایه های ۰ و ۱ و -۱ است و W قطری است به طوری که |Wii=√|Eii.