پیش‌نویس:ذره در یک شبکه یک بعدی

در مکانیک کوانتومی، ذره در یک شبکه یک بعدی، مسئله‌ای است که در مدل یک شبکه بلوری دوره‌ای به وجود می‌آید. پتانسیل توسط یون‌ها در ساختار دوره‌ای بلور ایجاد می‌شود که یک میدان الکترومغناطیس[1] ایجاد می‌کند، بنابراین الکترون‌ها تحت پتانسیل منظم داخل شبکه قرار می‌گیرند. این یک تعمیم از مدل الکترون آزاد است که فرض می‌کند داخل شبکه پتانسیل صفر است.

1.    تعریف مسئله

هنگامی که در مورد مواد جامد صحبت می‌شود، معمولاً بحث اطراف بلورها - شبکه‌های دوره‌ای - است. در اینجا، ما درباره یک شبکه یک بعدی از یون‌های مثبت صحبت خواهیم کرد. با فرض اینکه فاصله بین دو یون برابر با a است، پتانسیل در داخل شبکه به شکل زیر خواهد بود:

نمایش ریاضی پتانسیل یک تابع دوره‌ای با دوره a است. طبق قضیه بلوخ، راه حل معادله شرودینگر زمان‌ناحیه اگر پتانسیل دوره‌ای باشد، می‌تواند به شکل زیر نوشته شود:

$\psi (x)=e^{ikx}u(x),$

که در آن u(x) یک تابع دوره‌ای است که شرط u(x + a) = u(x) را ارضا می‌کند. این عامل بلوخ با نمایانگر فلوکه، منجر به ساختار باند از طیف انرژی معادله شرودینگر با یک پتانسیل دوره‌ای مانند پتانسیل کرونیگ-پنی یا یک تابع کسینوس مانند معادله ماتیو می‌شود. هنگام نزدیک شدن به لبه‌های شبکه، مشکلاتی در شرایط مرزی پیش می‌آید. بنابراین، ما می‌توانیم شبکه یونی را به عنوان یک حلقه نمایش دهیم که شرایط مرزی بورن-فان کارمان را دنبال می‌کند. اگر L طول شبکه باشد به گونه‌ای که L ≫ a، آنگاه تعداد یون‌ها در شبکه به حدی زیاد است که هنگام در نظر گرفتن یک یون، محیط آن تقریباً خطی است و تابع موج الکترون بدون تغییر باقی می‌ماند. بنابراین، اکنون به جای دو شرط مرزی، یک شرط مرزی دایره‌ای به دست می‌آید:

$\psi (0)=\psi (L).$

اگر N تعداد یون‌ها در شبکه باشد، آنگاه ما رابطه زیر را داریم: aN = L. با جایگذاری در شرط مرزی و اعمال قضیه بلوخ، به یک کوانتوم‌سازی برای k منجر خواهد شد:

$\psi (0)=e^{ik\cdot 0}u(0)=e^{ikL}u(L)=\psi (L)$

$u(0)=e^{ikL}u(L)=e^{ikL}u(Na)\to e^{ikL}=1$

$\Rightarrow kL=2\pi n\to k={2\pi \over L}n\qquad \left(n=0,\pm 1,\dots ,\pm {\frac {N}{2}}\right).$

1.    مدل کرونیگ-پنی

مدل کرونیگ-پنی یک سیستم ساده و ایده‌آل در مکانیک کوانتومی است که از یک آرایه بی‌نهایت دوره‌ای از حاجب‌های پتانسیل مستطیلی تشکیل شده است. تقریباً تابع پتانسیل با یک پتانسیل مستطیلی مدل می‌شود:

استفاده از قضیه بلوخ به ما فقط نیاز به یافتن یک راه حل برای یک دوره است، اطمینان حاصل کنیم که آن پیوسته و صاف است، و همچنین مطمئن شویم که تابع u(x) نیز پیوسته و صاف است. در نظر گرفتن یک دوره از پتانسیل: در اینجا دو منطقه داریم. برای هرکدام به طور مستقل حل خواهیم کرد: اجازه دهید E یک مقدار انرژی بالاتر از چاه باشد (E > 0)

برای $0<x<(a-b)$ :

${\begin{aligned}{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\psi _{xx}&=E\psi \\\Rightarrow \psi &=Ae^{i\alpha x}+A'e^{-i\alpha x}&\left(\alpha ^{2}={2mE \over \hbar ^{2}}\right)\end{aligned}}$

برای $-b<x<0$ :

${\begin{aligned}{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\psi _{xx}&=(E+V_{0})\psi \\\Rightarrow \psi &=Be^{i\beta x}+B'e^{-i\beta x}&\left(\beta ^{2}={2m(E+V_{0}) \over \hbar ^{2}}\right).\end{aligned}}$

برای یافتن u(x) در هر منطقه، ما نیاز به تلاش در تابع موج الکترون داریم:${\begin{aligned}\psi (0<x<a-b)&=Ae^{i\alpha x}+A'e^{-i\alpha x}=e^{ikx}\left(Ae^{i(\alpha -k)x}+A'e^{-i(\alpha +k)x}\right)\\\Rightarrow u(0<x<a-b)&=Ae^{i(\alpha -k)x}+A'e^{-i(\alpha +k)x}.\end{aligned}}$

و به همان شیوه:

$u(-b<x<0)=Be^{i(\beta -k)x}+B'e^{-i(\beta +k)x}.$

برای تکمیل راه حل، نیاز داریم مطمئن شویم که تابع احتمال پیوسته و صاف است، به عبارت دیگر:

$\psi (0^{-})=\psi (0^{+})\qquad \psi '(0^{-})=\psi '(0^{+}).$

و همچنین که u(x) و u′(x) دوره‌ای هستند:

$u(-b)=u(a-b)\qquad u'(-b)=u'(a-b).$

این شرایط به ماتریس زیر منجر می‌شوند:

${\begin{pmatrix}1&1&-1&-1\\\alpha &-\alpha &-\beta &\beta \\e^{i(\alpha -k)(a-b)}&e^{-i(\alpha +k)(a-b)}&-e^{-i(\beta -k)b}&-e^{i(\beta +k)b}\\(\alpha -k)e^{i(\alpha -k)(a-b)}&-(\alpha +k)e^{-i(\alpha +k)(a-b)}&-(\beta -k)e^{-i(\beta -k)b}&(\beta +k)e^{i(\beta +k)b}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\A'\\B\\B'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.$

برای داشتن یک راه حل غیر تافی، تعیین‌کننده این ماتریس باید صفر باشد. این موجب به دست آمدن عبارت زیر می‌شود:

$\cos(ka)=\cos(\beta b)\cos[\alpha (a-b)]-{\alpha ^{2}+\beta ^{2} \over 2\alpha \beta }\sin(\beta b)\sin[\alpha (a-b)].$

برای ساده‌تر کردن عبارت، ما تقریب‌های زیر را انجام می‌دهیم:

$b\to 0;\quad V_{0}\to \infty ;\quad V_{0}b=\mathrm {constant}$

$\Rightarrow \beta ^{2}b=\mathrm {constant} ;\quad \alpha ^{2}b\to 0$

$\Rightarrow \beta b\to 0;\quad \sin(\beta b)\to \beta b;\quad \cos(\beta b)\to 1.$

حال عبارت به شکل زیر خواهد بود:

$\cos(ka)=\cos(\alpha a)+P{\frac {\sin(\alpha a)}{\alpha a}},\qquad P={\frac {mV_{0}ba}{\hbar ^{2}}}$

برای مقادیر انرژی درون چاه (E < 0)، به دست می‌آید:

$\cos(ka)=\cos(\beta b)\cosh[\alpha (a-b)]-{\beta ^{2}-\alpha ^{2} \over 2\alpha \beta }\sin(\beta b)\sinh[\alpha (a-b)],$

$\beta ^{2}={\frac {2m(V_{0}-|E|)}{\hbar ^{2}}}$$\alpha ^{2}={2m|E| \over \hbar ^{2}}$

پیروی از تقریب‌های مشابه به آنچه بالا بیان شد، به عبارت زیر منتهی می‌شود:

$\cos(ka)=\cosh(\alpha a)+P{\frac {\sinh(\alpha a)}{\alpha a}}$

با همان فرمول برای P که در مورد قبلی آمده است .

$\left(P={\frac {mV_{0}ba}{\hbar ^{2}}}\right)$

1.    گاف‌های باند در مدل کرونیگ-پنی

در پاراگراف قبلی، تنها متغیرهایی که توسط پارامترهای سیستم فیزیکی تعیین نمی‌شوند، انرژی E و میانگین بلور k هستند. با انتخاب یک مقدار برای E، می‌توان سمت راست را محاسبه کرد و سپس با گرفتن کسینوس معکوس از هر دو طرف، مقدار k را محاسبه کرد. بنابراین، این عبارت منجر به رابطه پراکندگی می‌شود. سمت راست عبارت آخری که در بالا آورده شد، گاهی اوقات ممکن است بیشتر از 1 یا کمتر از -1 باشد، در این صورت هیچ مقداری از k نمی‌تواند معادله را درست کند. از آنجایی که $\alpha a\propto {\sqrt {E}}$، این بدان معناست که برخی از مقادیر E وجود دارند که برای آنها هیچ تابع موج خودمختاری برابر با معادله شرودینگر وجود ندارد. این مقادیر، گاف‌های باند را تشکیل می‌دهند.

بنابراین، مدل کرونیگ-پنی یکی از ساده‌ترین پتانسیل‌های دوره‌ای است که دارای یک گاف باند می‌باشد.

   مدل کرونیگ-پنی: راه حل جایگزین

یک روش جایگزین برای یک مسئله مشابه ارائه شده است. در اینجا، ما یک پتانسیل دلتا دوره‌ای داریم:

$V(x)=A\cdot \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-na).$

A یک ثابت است و a ثابت شبکه (فاصله بین هر سایت) است. از آنجایی که این پتانسیل دوره‌ای است، می‌توانیم آن را به صورت یک سری فوریه گسترش دهیم:

$V(x)=\sum _{K}{\tilde {V}}(K)\cdot e^{iKx},$

${\tilde {V}}(K)={\frac {1}{a}}\int _{-a/2}^{a/2}dx\,V(x)\,e^{-iKx}={\frac {1}{a}}\int _{-a/2}^{a/2}dx\sum _{n=-\infty }^{\infty }A\cdot \delta (x-na)\,e^{-iKx}={\frac {A}{a}}.$

تابع موج با استفاده از قضیه بلوخ برابر با  است، جایی که یک تابع است که در شبکه دوره‌ای است، به این معنا که می‌توانیم آن را همچنین به صورت یک سری فوریه گسترش دهیم:

$u_{k}(x)=\sum _{K}{\tilde {u}}_{k}(K)e^{iKx}.$

بنابراین تابع موج به صورت زیر است:

$\psi _{k}(x)=\sum _{K}{\tilde {u}}_{k}(K)\,e^{i(k+K)x}.$

اگر این را در معادله شرودینگر قرار دهیم، به دست می‌آید:

$\left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]{\tilde {u}}_{k}(K)+\sum _{K'}{\tilde {V}}(K-K')\,{\tilde {u}}_{k}(K')=0$

$\left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]{\tilde {u}}_{k}(K)+{\frac {A}{a}}\sum _{K'}{\tilde {u}}_{k}(K')=0$

حالا متوجه می‌شویم که:

$u_{k}(0)=\sum _{K'}{\tilde {u}}_{k}(K')$

این را در معادله شرودینگر قرار دهید:

$\left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]{\tilde {u}}_{k}(K)+{\frac {A}{a}}u_{k}(0)=0$

این را برای ${\tilde {u}}_{k}(K)$ حل کردیم و به دست آوردیم:

${\tilde {u}}_{k}(K)={\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}f(k)}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}={\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}\,u_{k}(0)$

این معادله آخر را برای همه مقادیر  K  جمع کنیم تا به دست آوریم:

$\sum _{K}{\tilde {u}}_{k}(K)=\sum _{K}{\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}\,u_{k}(0)$

یا

$u_{k}(0)=\sum _{K}{\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}\,u_{k}(0)$

به طور مناسب، از بین می‌رود و$u_{k}(0)$ به دست می‌آید:

$1=\sum _{K}{\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}$

برای صرفه‌جویی در زحمت‌های نویسی بی‌مورد، یک متغیر جدید تعریف می‌کنیم:

$\alpha ^{2}:={\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}$

و سرانجام عبارت ما به صورت زیر خواهد بود:

${\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=\sum _{K}{\frac {1}{\alpha ^{2}-(k+K)^{2}}}$

حالا،  K  یک بردار شبکه متقابل است، که به این معناست که یک جمع بر  K  در واقع یک جمع بر اعداد صحیح ضرب‌شده در${\frac {2\pi }{a}}$ است.

${\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\alpha ^{2}-(k+{\frac {2\pi n}{a}})^{2}}}$

می‌توانیم این عبارت را کمی بازی کرده و جذاب‌تر کنیم.

${\begin{aligned}{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\alpha ^{2}-(k+{\frac {2\pi n}{a}})^{2}}}\\&=-{\frac {1}{2\alpha }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{(k+{\frac {2\pi n}{a}})-\alpha }}-{\frac {1}{(k+{\frac {2\pi n}{a}})+\alpha }}\right]\\&=-{\frac {a}{4\alpha }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}-{\frac {\alpha a}{2}}}}-{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}+{\frac {\alpha a}{2}}}}\right]\\&=-{\frac {a}{4\alpha }}\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}-{\frac {\alpha a}{2}}}}-\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}+{\frac {\alpha a}{2}}}}\right]\end{aligned}}$

اگر از یک هویت جذاب مربوط به جمع تابع کاناگنت[1] استفاده کنیم که می‌گوید:

$\cot(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2\pi n+2x}}-{\frac {1}{2\pi n-2x}}$

و این هویت را در عبارت ما جایگذاری کنیم به دست می‌آید:

${\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=-{\frac {a}{4\alpha }}\left[\cot \left({\tfrac {ka}{2}}-{\tfrac {\alpha a}{2}}\right)-\cot \left({\tfrac {ka}{2}}+{\tfrac {\alpha a}{2}}\right)\right]$

ما از جمع cot استفاده کرده و سپس حاصلضرب sin (که جزو فرمول جمع cot است) را به دست می‌آوریم:

$\cos(ka)=\cos(\alpha a)+{\frac {mA}{\hbar ^{2}\alpha }}\sin(\alpha a)$

این معادله ارتباطی بین انرژی (از طریق α و بردار موج  k  را نشان می‌دهد و همانطور که مشاهده می‌شود، از آنجایی که سمت چپ معادله فقط می‌تواند از -1 تا 1 تغییر کند، بنابراین برخی محدودیت‌ها بر روی مقادیری که α (و بنابراین انرژی) می‌تواند داشته باشد، وجود دارد. یعنی در برخی از دامنه‌های مقادیر انرژی، طبق این معادله، هیچ راه‌حلی وجود ندارد و بنابراین سیستم این انرژی‌ها را نخواهد داشت: گاف‌های انرژی. این گاف‌ها به نام گاف‌های باند شناخته می‌شوند که می‌توان نشان داد که در هر شکلی از پتانسیل دوره‌ای (نه فقط حاجب‌های دلتا یا مربعی) وجود دارد. برای یک محاسبه مختلف و دقیقتر از فرمول گاف (یعنی برای گاف بین باندها) و تقسیم سطوح مقادیر ویژه معادله شرودینگر یک بعدی، به مولر-کیرستن مراجعه کنید.

   شبکه محدود

در برخی موارد، معادله شرودینگر می‌تواند با استفاده از نظریه معادلات دیفرانسیل دوره‌ای به صورت تحلیلی بر روی یک شبکه یک بعدی با طول محدود حل شود. طول شبکه فرض می‌شود برابر با L=Na باشد که a دوره پتانسیل و تعداد دوره‌ها N یک عدد مثبت صحیح است. دو انتهای شبکه در τو L + τ  قرار دارند که τ نقطه پایان را مشخص می‌کند. تابع موج در خارج از بازه τ ، L + τ)) صفر است.

[1] cotangent

---

·       مراجع مورد استفاده برای این موضوع:

[1]  Gotō, T., "Relativistic Quantum Mechanics of One-Dimensional Mechanical Continuum and Subsidiary Condition of Dual Resonance Model", Progress of Theoretical Physics, Vol. 46, No. 5, pp. 1560–1570, 1971.

[۲]         Comtet, A., Texier, C., "One-dimensional disordered supersymmetric quantum mechanics: A brief survey", Supersymmetry and Integrable Models, pp. 313–328, 2007.

[۳] Gazalet, J., Dupont, S., Kastelik, J.C., Rolland, Q., Djafari-Rouhani, B., "A tutorial survey on waves propagating in periodic media: Electronic, photonic and phononic crystals. Perception of the Bloch theorem in both real and Fourier domains", Wave Motion, Vol. 50, No. 3, pp. 619–654, 2013.