مربع جادویی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

مربع جادویی یا وفقی جدولی است، n * n خانه، که خانه‌های آن با عددهای مثبت از ۱ تا n2 به ترتیبی پر شده‌است که مجموع عددهای هر ردیف افقی و یا هر ستون عمودی و یا هر قطر آن، عددی ثابت را نشان دهد. شکل رایج آن شامل اعداد ۱ تا n2 است ولی گاهی برای کلمات نیز استفاده می‌شود.

MagicSquare-ExplicitSums.png

این عدد ثابت بدین طریق بدست می‌آید و به آن ثابت جادویی یا جمع جادویی می‌گویند:

n(n²+1)/2

مثلاً ثابت جادویی برای nهای ۳و۴و۵و۶ برابر است با:

۱۱۱٬۶۵٬۳۴٬۱۵

تاریخچه و مفهوم فرهنگی مربع جادویی[ویرایش]

مربع جادویی در طی قرن‌ها برای انسان جذاب بوده‌است و بیش از ۴۰۰۰ سال است که در فرهنگ‌های مختلف از جمله هند و اروپا و... دیده شده‌است که بیشتر به صورت حکاکی شده روی سنگ یا فلز بوده‌است. اعتقادات بر این بوده‌است که مربع جادویی پایه‌های نجومی و پیش گویی دارد و پیش گوها از آن برای اندازه گیری طول عمر یا جلوگیری از بیماری استفاده می‌کردند. مثلاً یک مورد آن در هندوستان است که یک مربع ۳×۳ بر روی زمین می‌کشند به نام Kubera-Kolam که همان مربع جادویی درجه ۳ است. با این تفاوت که به هر کدام از خانه‌های آن ۱۹ واحد اضافه شده‌است به طوری که مقدار ثابت جادویی برابر ۷۲ شده‌است و این مربع به این شکل است:

۲۳ ۲۸ ۲۱
۲۲ ۲۴ ۲۶
۲۷ ۲۰ ۲۵

مربع جادویی عربی[ویرایش]

ریاضیدانان ایرانی با مربع‌های جادویی در ابتدای قرن ۷ آشنا شدند یعنی زمانی که مسلمانان‌ها با فرهنگ هندی و آسیای جنوبی آشنا شدند و ریاضیات هندی و بعضی جنبه‌های دیگر ترکیبات و بخشی از نجوم را آموختند البته این نظریه هم وجود دارد که آنها با مربع‌های جادویی از طریق چین آشنا شده‌اند. اولین مربع جادویی از درجه ۵و۶ در یک دائرةالمعارف بغدادی در حدود سال ۹۸۳ میلادی توسط اخوان الصفا آمده‌است و مربع‌های جادویی ساده‌تر قبل از آن توسط سایر ریاضیدانان ایرانی شناخته شده بودند.

مربع جادویی هندی[ویرایش]

یک مربع جادویی بسیار شناخته شده در هندوستان در معبد Parshvanath Jain وجود دارد که به شکل زیر است.

۷ ۱۲ ۱ ۱۴
۲ ۱۳ ۸ ۱۱
۱۶ ۳ ۱۰ ۵
۹ ۶ ۱۵ ۴

که عدد جادوی آن برابر ۳۴ است و در قرن ۱۰ میلادی بر دیوار معبد حکاکی شده‌است.

Albrecht Dürer[ویرایش]

مربع جادویی آلبرت

مربع جادویی Albrecht Dürer حکاکی شده در Melencolia I به نظر اولین مربع جادویی در اروپا است که بسیار شبیه مربع جادویی Yang Hui است که ۲۵ سال قبل ازAlbrecht Dürer در چین ساخته شده‌است، عدد جادویی این مربع برابر ۳۴ است که علاوه بر سطرها و ستون‌ها و قطرها، مربع چهارتایی وسط و مربع‌های چهارتایی چهارگوشه هم حاصل جمعی برابر ۳۴ دارند و دو عدد وسطی در سطر آخر هم تاریخ کنده کاری را نشان می‌دهد که برابر ۱۵۱۴ است.

۱۶ ۳ ۲ ۱۳
۵ ۱۰ ۱۱ ۸
۹ ۶ ۷ ۱۲
۴ ۱۵ ۱۴ ۱

Sagrada Família[ویرایش]

Ms sf 2.jpg

جوزف سابیراچز یک مربع از درجه ۴ در کلیسای Sagrada Família کنده کاری کرده‌است که عدد جادویی آن ۳۳ است. در حقیقت بسیار شبیه مربع جادوییAlbrecht Dürerاست اما مقدار ۴ تا از خانه‌ها را یکی کاهش داده‌است.

۱ ۱۴ ۱۴ ۴
۱۱ ۷ ۶ ۹
۸ ۱۰ ۱۰ ۵
۱۳ ۲ ۳ ۱۵

اما این مربع با یک مربع عادی متفاوت است چون ۱۴ و ۱۰ دوبار در آن آمده و ۱۲ و ۱۶ اصلاً نیامده‌است.

روش ساخت مربع‌های جادویی[ویرایش]

برای ساخت مربع‌های جادویی روش‌های گوناگونی وجود دارد که به بخشی از آن‌ها در زیر اشاره می‌کنیم، برای تمامی مقادیر n مربع جادویی وجود دارد فقط برای n=2 مربع جادویی نداریم، مربع‌های جادویی را به ۳ دسته تقسیم می‌کنیم مربع‌های جادویی با n فرد،n=4kوn=4k+2 که ما در اینجا طریقهٔ ساختن مربع جادویی فرد و مضرب ۴را بیان می‌کنیم، برای n>۵ تعداد مربع‌های جادویی درجه n از سوالات حل نشده در ریاضیات است مثلاً تعداد مربع‌های جادویی n×n برای n=۱٬۲٬۳،... برابر است با

۱٬۰٬۱٬۸۸۰٬۲۷۵۳۰۵۲۲۴،....

روش اول برای ساختن مربع‌های جادویی درجه فرد[ویرایش]

ابتدا با خانهٔ وسط سطر اول شروع کرده و اولین عدد که در اینجا ۱ است را در آن قرار می‌دهیم توجه کنید که حرکت اصلی برای پر کردن مربع‌ها حرکت قطری بالا و راست است که در هر مرحله یک بار انجام می‌شود اگر در هر مرحله‌ای به یک مربع پر شده رسیدیم یک حرکت به سمت پایین انجام می‌دهیم و ادامهٔ آن همان حرکت قبلی خواهد بود و هنگامی که یک حرکت به انتهای یکی از اضلاع می‌رسد از ضلع مقابل و در همان ردیف ادامه خواهیم داد. البته می‌توان از هر عددی بزرگتر از ۱ هم شروع کرد و آن را در مکان ۱ قرار داد و همین روش را ادامه داد.

روشی دیگر برای ساختن مربع‌های جادویی درجه فرد[ویرایش]

اگر مربع شما از درجه n است (n فرد است)ٍ به هر ضلع مربع از هر طرف یک ضلع دیگر به اندازهٔ n-2 تا مربع (از وسط) اضافه کنید و این کار را آنقدر ادامه دهید که آخرین ضلع به اندازهٔ ۱ مربع باشد. سپس مربع‌ها را به صورتی که در شکل نمایش داده شده پر می‌کنیم و سپس اعدادی را که خارج از مربع n*n قرار دارند را روی سطر یا ستونی که قرار گرفته‌اند به تعداد خانه‌هایی برابر با رتبه مربع وفقی (در این مثال ۳) انتقال می‌دهیم، مربع وفقی تنظیم می‌شود.

یک روش برای بدست آوردن مربع جادویی مضرب 4[ویرایش]

ابتدا اقطار مربع را بصورت ۴در ۴ در نظر می‌گیریم اول همه اعداد تا توان دوی n به ترتیب در سطر هااز یکی از گوشه‌ها نوشته می‌شوند طوری که فقط روی قطرها را پر می‌کنیم و بقیه را خالی می‌گذاریم و سپس از انتها دوباره اعداد شروع به نوشتن می‌شود اما این بار در جاهای خالی عدد می‌نویسیم.

جستارهای وابسته[ویرایش]

پیوند بیشتر[ویرایش]

منابع[ویرایش]

جستجو در ویکی‌انبار در ویکی‌انبار پرونده‌هایی دربارهٔ مربع جادویی موجود است.