قضیه بولزانو-وایرشتراس

قضیه بولزانو– وایرشتراس، که به نام برنارد بولزانو و کارل وایرشتراس نامگذاری شده‌است، یک قضیه بنیادی در آنالیز حقیقی دربارهٔ همگرایی در فضای اقلیدسی متناهی‌بعد است. این قضیه بیان می‌کند که هر دنباله کراندار در Rⁿ یک زیردنباله همگرا دارد. گزاره معادل این است که یک زیرمجموعه از Rⁿ به صورت متوالی فشرده‌است اگر و فقط اگر بسته و کراندار باشد. این قضیه را گاهی قضیه فشردگی متوالی نیز می‌نامند.

این قضیه نخستین بار توسط بولزانو در سال ۱۸۱۷ به عنوان یک لم در اثبات قضیه مقدار میانی اثبات شد. حدود پنجاه سال بعد این نتیجه به‌طور مستقل مورد توجه قرار گرفت و دوباره توسط وایرشتراس ثابت شد. از آن زمان به یک قضیه اساسی در آنالیز ریاضی تبدیل شده‌است.

اثبات

برای اثبات قضیه بولزانو – وایرشتراس می‌توان از بازه‌های تودرتو استفاده کرد. با یک دنباله محدود $(x_{n})$ شروع می‌کنیم:

• 
  از آنجا که $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ کراندار است، این دنباله یک کران پایین $s$ و یک کران بالا $S$ دارد.
• 
  بازه $I_{1}=[s,S]$ را به عنوان نخستین بازه از دنباله بازه‌های تودرتو در نظر می‌گیریم.
• 
  سپس $I_{1}$ را به دو زیربازه با اندازه برابر تقسیم می‌کنیم .
• 
  از آنجا که هر دنباله بی‌نهایت عضو دارد، حداقل یکی از این زیربازه‌ها شامل بی‌نهایت عنصر از $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ است. فرض می‌کنیم $I_{2}$ چنین دنباله‌ای باشد.
• 
  سپس $I_{2}$ را نیز به دو بازه با اندازه برابر تقسیم می‌کنیم
• 
  مجددا یکی از این دو زیربازه شامل بی‌نهایت عنصر از $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ است. این بازه را $I_{3}$ در نظر می‌گیریم.
• 
  این فرآیند را می‌توان بینهایت بار تکرار کرد و دنباله‌ای از بازه‌های تودرتو به دست آورد

از آنجا که طول هر بازه هر بار نصف می‌شود، حد طول بازه‌ها برابر صفر است. همچنین بنا بر قضیه بازه‌های تودرتو، اگر هر $I_{n}$بسته و کراندار باشد، آنگاه با فرض تودرتو بودن، اشتراک $I_{n}$ها ناتهی است؛ بنابراین عددی مانند $x$ در هر بازه$I_{n}$ وجود دارد. سپس باید نشان داد $x$ نقطه حدی $(x_{n})$ است.

همسایگی$U$ حول $x$ را در نظر بگیرید. از آنجا که طول بازه‌ها همگرا به صفر است، وجود دارد بازه‌ای مانند$I_{N}$ که زیرمجموعه $U$ است. از آنجا که این بازه بینهایت عنصر از $(x_{n})$ را در بر می‌گیرد، $U$ نیز بینهایت عنصر از $(x_{n})$ را در برخواهد گرفت؛ بنابراین $x$ یک نقطه حدی برای $(x_{n})$ خواهد بود و زیردنباله‌ای از $(x_{n})$ وجود خواهد داشت که به $x$ همگرا است.

منابع

• Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (2000). Introduction to Real Analysis (3rd ed.). New York: J. Wiley. ISBN 978-0-471-32148-4.
• Fitzpatrick, Patrick M. (2006). Advanced Calculus (2nd ed.). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. ISBN 0-534-37603-7.